Действительные числа

Одной из важнейших задач является задача измерения различных величин.

Сейчас мы рассмотрим подробнее задачу измерения отрезков. Если рассмотреть прямую на плоскости, ввести на ней точку отсчёта, обозначаемую O, и ввести отрезок единичной длины, то любому рациональному числу можно сопоставить единственную точку M этой прямой, потребовав, чтобы длина отрезка OM равнялась абсолютной величине этого числа и чтобы точка M лежала справа от точки O для положительного числа и слева от точки O - для отрицательного числа. На первый взгляд кажется, что рациональные точки заполняют собой всю прямую. Однако это вовсе не так. Длина диагонали квадрата со стороной единичной длины не может быть выражена никаким рациональным числом.

Докажем это утверждение, использовав метод от противного. Для этого предположим, что эта длина выражается числом вида , где натуральные числа не имеют общих делителей, кроме числа 1. Тогда, по теореме Пифагора, . Из последнего равенства следует, что - чётное число(иначе квадрат этого числа был бы нечётным числом вопреки этому равенству), т.е. . Следовательно, . Значит, также чётное число. Получено противоречие с предположением, состоящее в том, что оба числа - чётные.

Таким образом, для решения задачи об измерении длин любых отрезков множества рациональных чисел недостаточно. Придётся расширить множество рассматриваемых чисел, дополнив его новыми объектами, иррациональными числами. Нашей целью сейчас будет построение множества R действительных чисел (также называемых вещественными числами), которое будет объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел, причём элементы множества действительных чисел будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с точками прямой. Для этого нам потребуется дополнительная аксиома о непрерывности множества действительных чисел. Непрерывность множества R состоит в том, что в R нет “пустот”. А именно, справедливо следующее утверждение, которое мы примем за аксиому.

Аксиома отделимости. Для любых двух непустых множеств A и B в R, таких, что для любых выполнено неравенство, существует хотя бы одно такое число с, что для любых выполнено неравенство.

Впервые точный смысл утверждению, что прямая “непрерывна”, дал в 1872 году немецкий математик Ю. В. Р. Дедекинд. Отметив, что каждая точка прямой разбивает прямую на две части так, что каждая точка одной части расположена влево от каждой точки другой части прямой, Дедекинд пишет: “Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, то есть в следующем: если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разбиение прямой на два класса”. И далее: “… я решительно не в состоянии привести какое бы то ни было доказательство справедливости этого принципа, и никто не в состоянии этого сделать. Принятие этого свойства прямой лишь есть не что иное, как аксиома, посредством которой мы только и признаём за прямой её непрерывность”.

Итак, действительные числа представляют собой множество чисел с введёнными в нём операциями сложения, умножения, вычитания и деления, и отношением порядка, обладающими обычными законами (теми же, что для рациональных чисел). Кроме того, в нём справедлива аксиома отделимости.

Как отмечено выше, если ограничиться множеством рациональных чисел, то аксиома отделимости окажется неверна. Если множество рациональных чисел, меньших, чем , а множество рациональных чисел больших, чем , то эти множества отделяет друг от друга именно число , которое не является рациональным.

Как отмечалось выше, десятичные представления рациональных чисел являются либо конечными, либо бесконечными периодическими десятичными дробями. Естественно рассмотреть и все остальные, т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби, которые представляют иррациональные числа. Таким образом, действительные числа можно представить в виде бесконечных десятичных дробей.

Вернёмся к задаче об измерении отрезков. Процесс измерения длины отрезка можно задать следующим алгоритмом. Расположим отрезок так, чтобы его начало совпадало с точкой O, а конец с точкой x. Начнём откладывать от точки O единичный отрезок. Пусть точка x окажется между точками с координатами и . Разобьём отрезок на десять равных частей. Точка x либо совпадёт с одной из точек деления, либо окажется между двумя из них. В первом случае процесс измерения закончен, во втором мы снова разобьём отрезок на 10 частей и продолжим аналогично. Если на каком-то шаге точка x совпала с одной из точек деления, то она будет изображена конечной десятичной дробью. В противном случае будет получена бесконечная десятичная дробь. И в том, и в другом случае точке прямой поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь. Задача об измерении отрезка получила своё решение.

Разумеется, выбор числа 10 в качестве основания системы счисления не является единственным, Как уже отмечалось в конце первого параграфа, широко используются двоичная, троичная системы счисления. Мы на этом вопросе останавливаться не будем.