Десятичная запись приближённых чисел

Из курса средней школы известно, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби. Остальные действительные числа (т.е. иррациональные числа) изображаются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Однако на практике действия с бесконечными дробями приходится заменять действиями с конечными десятичными дробями, служащими приближениями для рассматриваемых чисел, т.е. с числами вида или , где

и - десятичные цифры.

Определение 7.3. В этом представлении числа значащими цифрами называются все отличные от нуля цифры, все те равные нулю цифры, которые содержатся между отличными от нуля значащими цифрами, а также равные нулю цифры, необходимые для обозначения десятичных разрядов целого числа. Говорят, что значащих цифр приближённого числа являются верными, если абсолютная погрешность этого приближённого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого -ой значащей цифрой, считая слева направо.

Таким образом, если для приближённого числа , заменяющего точное число , известно, что выполняется неравенство , то, по определению, первые значащих цифр этого числа являются верными.

Здесь будут уместно следующее замечание. Во многих случаях верные знаки приближающего числа совпадают с соответствующими цифрами точного числа, например, для точного числа приближённое число имеет четыре верных знака, так как , причём эти знаки совпадают со знаками точного числа, но для точного числа приближённое число имеет три верных знака, так как , а совпадают только две цифры. В примере у приближённого числа имеется два верных знака, ни один из которых не совпадает со знаками исходного числа.

Рассмотрим такой интересный пример. Первым приближением, известным ещё Архимеду в III веке до н.э. для числа , равного отношению длины окружности к её диаметру, служит число . Зная разложение числа , получаем, что , что означает, по определению, что три значащих цифры этого приближённого значения числа являются верными.

Адриан Меций, голландский геометр XVI века, предложил для приближения число ; это число легко запомнить по правилу: написав по два раза нечётные цифры 1,1,3,3,5,5, следует последние три взять цифрами числителя, а первые три - знаменателя. Так как , а, как отмечалось выше, , то и приближённое значение для числа имеет 7 верных знаков.

Важным направлением развития современной вычислительной математики являются разработка и реализация алгоритмов, дающих огромные количества верных знаков в десятичном разложении числа . В 2002 году их было известно уже ! Разумеется, такие вычисления не являются самоцелью или демонстрацией вычислительных возможностей современных компьютеров. Знание такого большого количества десятичных знаков числа предоставляет, огромный выбор псевдослучайных чисел, широко применяемых при вероятностных расчётах и др. (Интересно, что среди первого миллиона цифр все десятичные цифры встречаются примерно с одинаковой частотой).