Теорема 6.1.Если A - бесконечное ограниченное множество, то существует предельная точка множества A
(Примечание к формулировке теоремы: множество A ограниченное -это означает, что Доказательство.
Так как, очевидно, В дополнение сформулируем и докажем еще одно важное свойство предельных точек.
|
; бесконечное –т.е. содержит бесконечно много точек.)
Рассмотрим отрезок 
. Разделим его на 2 части. Хотя бы в одну из половин отрезка входит бесконечное множество точек A. Возьмем полученный отрезок 
и тоже разделим его на 2 части. Хотя бы один из полученных отрезков 
тоже содержит бесконечное множество точек из A. Продолжим процесс деления отрезков. В итоге имеем систему стягивающихся отрезков. По теоремам (5.3, 5.4) эта система имеет единую для всех отрезков точку с. Утверждаем, что точка c - предельная точка множества A. Выберем произвольную окрестность 
и в ней окрестность 
. После этого возьмем n такое, чтобы длина отрезка 
, равная 
, оказалась меньше 
, т.е. 
.
(см. рис. 5), и так как 
