1) Если предел последовательности
существует, то он единственен, т.е. если
и если
, то 
2) Если предел функции
имеет при
существует, то он единственен, т.е.
,
, то 
Доказательство. 1) Предположим, что последовательность имеет пределом число
, а также имеет пределом число
,
. Тогда:

Полагая в этом условии
, получаем, что при
. Аналогично, поскольку
- тоже предел, получаем, что при
.
Пусть
. Тогда при
выполняются условия
и
, поэтому

Полученное противоречие доказывает теорему.
2)Утверждение этой теоремы доказывается вполне аналогично, но оно будет приведено ниже для полноты изложения. Пусть снова функция
имеет при
два предела,
и
. Тогда, применяя определения предела при
получаем, чтодля
существуют числа
и
такие, что при
выполняется неравенство
, а при
выполняется неравенство
. Тогда положим
и потребуем, чтобы
. При этом
Полученное противоречие доказывает теорему.
Определение 8.4 Последовательность
называется бесконечно малой, если
. Аналогично, функция
- бесконечно малая при
, если
.