Вопрос 12: КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИОпределение 12.1. Пусть задана последовательность и пусть - возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность подпоследовательность исходной последовательности. Теорема 12.1. Последовательность имеет предел A тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A. ◄Поскольку последовательность сама является одной из своих подпоследовательностей (для которой ), утверждение теоремы очевидно в одну сторону. Обратно, из определения подпоследовательности сразу вытекает, что для любого выполняется неравенство . Если ,то для любого существует такое, что при выполняется неравенство .При этом для любой подпоследовательности при выполняется неравенство , из которого следует, что . Это означает, что .►
|