Определение 12.1. Пусть задана последовательность 
и пусть 
- возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность 
подпоследовательность исходной последовательности.
Теорема 12.1. Последовательность имеет предел A тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A.
◄Поскольку последовательность сама является одной из своих подпоследовательностей (для которой 
), утверждение теоремы очевидно в одну сторону.
Обратно, из определения подпоследовательности сразу вытекает, что для любого 
выполняется неравенство 
. Если 
,то для любого 
существует 
такое, что при 
выполняется неравенство 
.При этом для любой подпоследовательности 
при 
выполняется неравенство 
, из которого следует, что 
. Это означает, что 
.►
