Теорема 12.3 (Критерий Коши для последовательности) Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной
◄Необходимость То, что последовательность имеет предел, запишем так: Достаточность Во-первых, из фундаментальности последовательности следует ее ограниченность. Действительно, пусть По теореме 12.2 существует подпоследовательность У нас доказано, что Если Теорема 12.4 (Критерий Коши для функции) Условие: для любого ◄Необходимость Пусть существует предел Достаточность
|
. Легко видеть, что 
. По свойству модулей: 
. Обозначив 
, имеем: 
, т.е. из существования предела последовательности легко следует ее фундаментальность.
. Тогда существует 
такое, что для всех 
имеет место неравенство 
. Положим 
. Тогда для всех 
, т.е. 
. Пусть 
. Из этих неравенств тогда следует, что при 
. Положим 
. Теперь для всех 
имеет место неравенство 
, т.е. 
- ограниченная последовательность.
такая, что она имеет некоторый предел 
, т.е. 
. Докажем, что вся последовательность имеет тот же предел, т.е. что 
, для чего достаточно доказать, что 
.
, что 
.
и если 
, то 
, поэтому 
, что и требовалось доказать. ►
существует такое 
, что для любых 
из 
разность значений функции 
в этих точках по абсолютной величине меньше 
, равносильно тому, что существует предел этой функции при 
, т.е. 
. (1)
. Тогда 
. Так как 
, то 
, 
. Следовательно, 
.
