Вопрос 14: НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Непрерывность многочленов Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций, функция у = х 2 – непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему, получаем, что для любого натурального m функция у = x m – непрерывна. Умножая непрерывные функции e = x, x 2, a 3, …, x k на постоянные числа с1, с2, …, сk соответственно, получаем, что c1 x, c2 x 2, …, ck x k – непрерывные функции. Сложив c0 + c1 x + … + ck x k получаем непрерывную функцию. Итак, многочлен – непрерывная на всей прямой функция. 2. Непрерывность рациональной функции По определению, рациональной функцией R (x) называется отношение двух многочленов, P (x) и Q (x), т. е. R (x) = Во всех тех точках x 0, где Q (x) ≠ 0, функция R (x) непрерывна по теореме о непрерывности частного. Если же в точке x 0 выполняется равенство Q (x 0) = 0, то в этой точке может быть устранимый разрыв, как например, в точке x 0 = 1 у функции Для дальнейшего исследования будет полезной следующая теорема. Теорема 14.1. Пусть y = f(x) возрастает (или убывает) на промежутке X, причём множество её значений образует промежуток Y. Тогда f(x) – непрерывная на X функция. Для доказательства вспомним, что если f(x) строго монотонна на промежутке X, то, согласно следствию теоремы 10.2, в любой внутренней точке x 0 этого промежутка существуют
3. Непрерывность показательной функции Функция y = ax монотонна (возрастает при a >1, убывает при 0< a <1) и множеством ее значений при x Î 4. Непрерывность логарифмической функции Функция log ax монотонна (возрастает при a >1, убывает при 0< a <1) и при x Î(0,+¥) ее множеств значений есть 5. Непрерывность функции y = x m Функция y = x m определена при x >0, причем x m = e m ln x. По доказанному, z = m ln x - непрерывная функция при x >0, функция y = ez непрерывна при всех z, поэтому, по теореме о непрерывности сложной функции, y = x m - непрерывная при x >0 функция. 6. Функция y = sin x При вычислении предела
Она непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции, так как 8. Функция y = tg x Эта функция непрерывна во всех точках, кроме 9. Функция y = ctg x она непрерывна во всех точках, кроме точек x = pn, nÎ z, где она имеет разрыв второго рода. 10. Непрерывность функции y = a rcsin x
11. Непрерывность функции y = arccos x Следует из тождества arcsin x + arccos x = 12. Непрерывность функции y = arctg x
13. Непрерывность функции y = arctg x. Следует из равенства: arctg x + arctg x =
Вопрос 15:СИМВОЛЫ Пусть Определение 15.1. Определение 15.2. Примеры. 1) 2) Вообще, если Из свойств бесконечно малых величин следуют такие свойства символов
|
.
. Кроме того, в этой точке может оказаться разрыв второго рода, как, например, в точке x 0 = 0 у функции 
.
и 
. Если эти числа равны друг другу, то они, ввиду монотонности, равны f(x 0) и f(x)ЄC(x 0). Если же эти значения не равны друг другу, то во множестве значений Y функции f (x) имеется “пробел” между точками 
является бесконечный промежуток – множество всех положительных чисел. По доказанной теореме, функция y = ax непрерывна на всей числовой оси.
было установлено, что если 
, то 
. Ввиду нечетности функций y = x и y = sin x, при 
. Из этого сразу следует, что при 
выполняется неравенство 
. Пусть x 0 произвольная точка. Докажем, что 
. Это равносильно тому, что 
. В свою очередь, это равносильно тому, что 
. Так как, по доказанному выше, 
, 
. Кроме того, функция 2cos 
, очевидно, ограниченная. По свойствам бесконечно малых, получаем требуемое.
, 
– непрерывная функция и y = sin z – тоже непрерывная функция.
. В этих, последних, она имеет разрыв второго рода.
Она определена на отрезке [-1, 1], возрастает на нём и множеством её значений является отрезок [ 
]. По доказанной теореме 14.1, y = arcsin x непрерывна на [-1, 1].
, т.е. arccos x = 
Функция определена и возрастаёт на всей числовой прямой. Множество значений – интервал (
, 
. ВЫЧИСЛЕНИЕ 
, 
, 
, 
определены в 
.
, 
, если существует 
, 
.
, 
, – ограниченная в 
.
при 
, т.к. 
, а 
, при 
∞, т.к. 
, и 
при 
и 
и если 
и 
.
