Теорема 17.2.(Вейерштрасс) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существуют такие точки , принадлежащие этому отрезку, что
$ Докажем часть утверждения теоремы, относящуюся к точной верхней грани множества значений функции на отрезке . Остальная часть доказывается аналогично. Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Пусть для всех точек отрезка выполняется неравенство . Тогда для всех точек отрезка и функция определена и непрерывна на отрезке . По теореме 17.1 эта функция ограничена на отрезке , следовательно, существует число такое, что для всех точек отрезка выполняются неравенства . Но тогда для всех точек из отрезка выполняется неравенство , или . Это означает, что меньшее, чем , число является верхней гранью множества значений функции на отрезке . Значит, - не точная верхняя грань множества значений функции на отрезке . # Замечание. Часто эту теорему формулируют так:
|