Теорема 17.2.(Вейерштрасс) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существуют такие точки , принадлежащие этому отрезку, что
$ Докажем часть утверждения теоремы, относящуюся к точной верхней грани Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Пусть для всех точек Замечание. Часто эту теорему формулируют так:
|
множества значений функции 
на отрезке 
. Остальная часть доказывается аналогично.
отрезка 
. Тогда 
для всех точек 
определена и непрерывна на отрезке 
такое, что для всех точек 
. Но тогда для всех точек 
, или 
. Это означает, что меньшее, чем 
является верхней гранью множества значений функции 
