Теорема 18.1.(Кантор) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке
$ Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Отсутствие равномерной непрерывности означает, что существует число
Полученное противоречие доказывает теорему. # Замечание. Функция, непрерывная на интервале
Вопрос 19: ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЙ СМЫСЛ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
|
такое, что для любого числа 
существуют точки 
, для которых выполнены неравенства 
и 
. Зафиксируем это число 
. При каждом таком выборе числа 
такие, что для всех 
выполнены неравенства 
и 
. Последовательность точек 
бесконечная и ограниченная. Поэтому, по теореме Больцано-Вейерштрасса, существует подпоследовательность 
, имеющая предел, который будем обозначать 
. Далее, из неравенства 
получаем 
, т.е. 
. Поскольку 
, правая и левая части этих неравенств имеют одинаковые пределы, равные числу 
. Так как 
, по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем: 
, т.е. 
и, следовательно, функция 
непрерывна в этой точке. По выбору точек 
выполнено неравенство 
. Перейдём в этом неравенстве к пределу при 
. Ввиду непрерывности модуля и непрерывности функции 
, не обязательно равномерно непрерывна на нём. Пример: функция 
, непрерывная на интервале 
, не равномерно непрерывна на этом интервале. Для доказательства выберем 
и для любого 
рассмотрим точки 
. При этом 
, но 
.
