Теорема 18.1.(Кантор) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке

$ Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Отсутствие равномерной непрерывности означает, что существует число такое, что для любого числа существуют точки , для которых выполнены неравенства и . Зафиксируем это число и будем последовательно выбирать число равным числам . При каждом таком выборе числа существуют точки такие, что для всех выполнены неравенства и . Последовательность точек бесконечная и ограниченная. Поэтому, по теореме Больцано-Вейерштрасса, существует подпоследовательность , имеющая предел, который будем обозначать . Далее, из неравенства при получаем , т.е. . Поскольку , правая и левая части этих неравенств имеют одинаковые пределы, равные числу . По теореме 9.3 из этого следует, что . Так как , по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем: , т.е. и, следовательно, функция непрерывна в этой точке. По выбору точек выполнено неравенство . Перейдём в этом неравенстве к пределу при . Ввиду непрерывности модуля и непрерывности функции , получаем

Полученное противоречие доказывает теорему. #

Замечание. Функция, непрерывная на интервале , не обязательно равномерно непрерывна на нём. Пример: функция , непрерывная на интервале , не равномерно непрерывна на этом интервале. Для доказательства выберем и для любого рассмотрим точки . При этом , но .

Вопрос 19: ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЙ СМЫСЛ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА