Вопрос :ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ, ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Этот вопрос является дополнительным к вопросу 19. Хотя он не включён в билеты, информацию, в нём содержащуюся, знать на экзамене обязательно!

 

1.Производная степенной функции , где − любое вещественное число). Область определения этой функции зависит от . Имеем (при )

.

Если воспользоваться пределом, вычисленным в теореме 15.4, то получим

.

В частности

если , то

если , то .

2 .Производная показательной функции (, ). Здесь

.

Воспользовавшись пределом, вычисленным в теореме 15.4, найдём:

.

В частности,

если , то и .

Итак, скорость возрастания показательной функции (при ) пропорциональна значению самой функции: чем большего значения функция уже достигла, тем быстрее в этот момент она растёт. Это даёт точную характеристику роста показательной функции, о которой мы имели уже случай говорить.

3. Производная логарифмической функции (, ). В этом случае

.

Воспользуемся пределом, вычисленным в теореме 15.4:

.

В частности, для натурального логарифма получается исключительно простой результат:

при имеем .

Это даёт (хотя, по существу, и не новое) основание для предпочтения, которое оказывается натуральным логарифмам при теоретических исследованиях.

4.Производные тригонометрических функций. Пусть , тогда

.

Пользуясь непрерывностью функции и известным пределом , получим

.

Аналогично найдём:

если , то .

В случае применима теорема 19.9, согласно которой

Аналогично,

если , то .