Вопрос :ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ, ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Этот вопрос является дополнительным к вопросу 19. Хотя он не включён в билеты, информацию, в нём содержащуюся, знать на экзамене обязательно!
1.Производная степенной функции
Если воспользоваться пределом, вычисленным в теореме 15.4, то получим
В частности если если 2 .Производная показательной функции
Воспользовавшись пределом, вычисленным в теореме 15.4, найдём:
В частности, если Итак, скорость возрастания показательной функции (при 3. Производная логарифмической функции
Воспользуемся пределом, вычисленным в теореме 15.4:
В частности, для натурального логарифма получается исключительно простой результат: при Это даёт (хотя, по существу, и не новое) основание для предпочтения, которое оказывается натуральным логарифмам при теоретических исследованиях. 4.Производные тригонометрических функций. Пусть
Пользуясь непрерывностью функции
Аналогично найдём: если В случае Аналогично, если
|
, где 
− любое вещественное число). Область определения этой функции зависит от 
)
.
.
, то 
, то 
.
(
, 
). Здесь
.
.
, то и 
.
) пропорциональна значению самой функции: чем большего значения функция уже достигла, тем быстрее в этот момент она растёт. Это даёт точную характеристику роста показательной функции, о которой мы имели уже случай говорить.
(
, 
). В этом случае
.
.
имеем 
.
, тогда
.
и известным пределом 
, получим
.
, то 
.
применима теорема 19.9, согласно которой 
, то 
.
