Производная обратной функции

Прежде чем заняться вычислением производных от обратных тригонометрических функций, докажем следующую общую теорему.

Теорема 20.1.Пусть 1) функция возрастает(или убывает) и непрерывна на некотором промежутке 2) в точке этого промежутка имеет конечную и отличную от нуля производную. Тогда для обратной функции в соответствующей точке также существует производная, равная.

◄Придадим значению произвольное приращение , тогда соответственное приращение получит и функция . Заметим, что при , ввиду однозначности самой функции , и . Имеем

.

Если теперь по любому закону, то − в силу непрерывности функции − и приращение . Но тогда знаменатель правой части написанного равенства стремится к пределу , следовательно, существует предел для левой части, равный обратной величине ; он и представляет собой производную .►

Итак, имеем простую формулу:

.

Легко выяснить её геометрический смысл. Мы знаем, что производная есть тангенс угла , образованный касательной к графику функции с осью . Но обратная функция имеет, лишь независимая переменная для неё откладывается по оси . Поэтому производная равна тангенсу угла β, составленного той же касательной с осью (см. рис.) Таким образом, выведенная формула сводится к известному соотношению

 

,

связывающему тангенсы двух углов α и β, сумма которых равна .

Положим для примера . Обратной для неё функцией будет . Так как , то по нашей формуле,

,

в согласии с 3.

Переходя теперь к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, мы для удобства обменяем ролями переменные x и y, переписав доказанную формулу в виде

.

5.Обратные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию (), причем . Она является обратной для функции , имеющей для указанных значений положительную производную . В таком случае существует также производная и равна, по нашей формуле,

;

корень мы берем со знаком плюс, так как .

Мы исключили значения , ибо для соответствующих значений производная .

Функция () служит обратной для функций . По нашей формуле

.

Аналогично можно получить:

для ()

для ().