Вторая производная функции , заданной параметрически

Рассмотрим уравнение (2)

Где , − дважды дифференцируемые функции на некотором промежутке ; пусть, кроме того, функция строго возрастает (или убывает) на и ни в одной точке этого промежутка не равна 0. В пункте 20.7 доказано, что в этом случае уравнения (2) задают функцию , и производная этой функции равна

 

Бывает также, что производные по параметру обозначают так: , . Тогда формула (3) принимает вид: . Найдём вторую производную функции :

 

5.Дифференциалы высших порядков.

Однородную линейную функцию называют линейной формой.

Напомним, что если функция дифференцируема в точке , то

дифференциалом в x называют линейную форму .

Аналогично, если дифференцируема дважды в точке ,

то ее вторым дифференциалом называют квадратичную форму .

Вообще, n-ым дифференциалом в точке x будет n-ичная

форма (в предположении, что существует).

Для n-го дифференциала в точке x используют обозначение или, более

строго .

Таким образом, по определению,

= для всех Î . (2)

Согласно этому определению, есть n-я степень функции и

потому используют обозначение . Тогда (2) примет вид

для всех Î , или равенства

. (3)

Форма (2) записи n-го дифференциала не инвариантна

уже при n=2. Действительно, подставляя вместо дифференцируемую

функцию в левую часть формулы (2) (при n=2), получим

= (4)

а в результате такой же подстановки в правую часть, имеем

.(5)

Правые части формул (5) и (4) отличаются слагаемым .

Вообще говоря, это слагаемое не равно нулю. Однако если - линейная функция,

то и, вообще, для любого имеет место равенство ,

откуда следует, что формула (3) будет верна и для линейной функции .