Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вторая производная функции , заданной параметрически




Рассмотрим уравнение (2)

Где , − дважды дифференцируемые функции на некотором промежутке ; пусть, кроме того, функция строго возрастает (или убывает) на и ни в одной точке этого промежутка не равна 0. В пункте 20.7 доказано, что в этом случае уравнения (2) задают функцию , и производная этой функции равна

 

Бывает также, что производные по параметру обозначают так: , . Тогда формула (3) принимает вид: . Найдём вторую производную функции :

 

5.Дифференциалы высших порядков.

Однородную линейную функцию называют линейной формой.

Напомним, что если функция дифференцируема в точке , то

дифференциалом в x называют линейную форму .

Аналогично, если дифференцируема дважды в точке ,

то ее вторым дифференциалом называют квадратичную форму .

Вообще, n-ым дифференциалом в точке x будет n-ичная

форма (в предположении, что существует).

Для n-го дифференциала в точке x используют обозначение или, более

строго .

Таким образом, по определению,

= для всех Î . (2)

Согласно этому определению, есть n-я степень функции и

потому используют обозначение . Тогда (2) примет вид

для всех Î , или равенства

. (3)

Форма (2) записи n-го дифференциала не инвариантна

уже при n=2. Действительно, подставляя вместо дифференцируемую

функцию в левую часть формулы (2) (при n=2), получим

= (4)

а в результате такой же подстановки в правую часть, имеем

.(5)

Правые части формул (5) и (4) отличаются слагаемым .

Вообще говоря, это слагаемое не равно нулю. Однако если - линейная функция,

то и, вообще, для любого имеет место равенство ,

откуда следует, что формула (3) будет верна и для линейной функции .

 

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 207. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия