Вопрос 23: ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Пусть Определение: Точка а – точка локального максимума f(x), если для всех x Аналогичным образом определяются точки локального минимума и нестрогого локального минимума. Следует только заменить входящие в определение неравенства неравенствами Обобщающие названия для точек максимума и минимума – точки экстремума. Теорема 23.1(П. Ферма): Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки а, пусть эта точка – точка экстремума (хотя бы нестрогого) для функции f(x) и пусть существует производная ◄ По условию существует производная
Примечание 1. В точке экстремума производная может не существовать. Примером служит функция Примечание 2. Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума, но не достаточное, т.е. производная функции в точке может равняться нулю, а экстремума в этой точке нет. Пример: Следствие (необходимые условия экстремума). Если функция непрерывна на (а;b), то точками локального экстремума могут быть только такие точки х0, в которых производная функции либо не существует, либо обращается в 0.
|
- некоторая проколотая окрестность точки а.
, то говорят о точке нестрогого максимума.
и 
, соответственно.
Тогда 
=0.
Рассмотрим, для определенности, случай точки максимума. Тогда для всех x 
. Если x 
.
. По теореме о предельном переходе в неравенствах, 
.
Аналогично, при x 
, поэтому 
. Так как, 
= 
, должны выполняться неравенства 
, из которых следует доказываемое равенство 
. Она имеет минимум в точке х=0. однако 
, 
и 
не существует.
. Эта функция имеет производную 
, обращающуюся в ноль при х=0, однако 
