Замечание 1 к следствию 1. Это следствие ещё называют основной леммой теории неопределённого интеграла

Замечание 2 к следствию 1. Если f′(х) = 0 для всех x X, где X – объединение нескольких интервалов, то f(x) принимает постоянное значение на каждом из интервалов, своё для каждого интервала.

Теорема 24.2 (Коши) Пусть f(x),g(x) C[a, b], f(x), g(x) D(a, b), для всех точек . Тогда существует точка с (а, b) такая, что

.

◄Доказательство во многом подобно доказательству теоремы Лагранжа. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Во-первых, эта функция существует, так как по условию теоремы. Далее, она непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причём её производная равна . По теореме 23.2(Ролля) существует такая, что , т.е. , откуда сразу следует заключение теоремы.►

Замечание. Не стоит пытаться «упростить» доказательство теоремы Коши, применяя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю. Дело в том, что хотя и для существует некоторая точка, обозначим её , такая, что , и для существует некоторая точка, обозначим её , такая, что , мы не можем сразу утверждать, что эти точки совпадут, т.е.что . Это равенство следует как раз из приведённого выше доказательства.