Замечание 1 к следствию 1. Это следствие ещё называют основной леммой теории неопределённого интегралаЗамечание 2 к следствию 1. Если f′(х) = 0 для всех x Теорема 24.2 (Коши) Пусть f(x),g(x) ◄Доказательство во многом подобно доказательству теоремы Лагранжа. Рассмотрим вспомогательную функцию
Во-первых, эта функция существует, так как Замечание. Не стоит пытаться «упростить» доказательство теоремы Коши, применяя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю. Дело в том, что хотя и для
|
X, где X – объединение нескольких интервалов, то f(x) принимает постоянное значение на каждом из интервалов, своё для каждого интервала.
для всех точек 
. Тогда существует точка с 
.
.
по условию теоремы. Далее, она непрерывна на отрезке 
и дифференцируема на интервале 
, причём её производная равна 
. По теореме 23.2(Ролля) существует 
такая, что 
, т.е. 
, откуда сразу следует заключение теоремы.►
существует некоторая точка, обозначим её 
, такая, что 
, и для 
существует некоторая точка, обозначим её 
, такая, что 
, мы не можем сразу утверждать, что эти точки совпадут, т.е.что 
. Это равенство следует как раз из приведённого выше доказательства.
