Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Замечание 1 к следствию 1. Это следствие ещё называют основной леммой теории неопределённого интеграла




Замечание 2 к следствию 1. Если f′(х) = 0 для всех x X, где X – объединение нескольких интервалов, то f(x) принимает постоянное значение на каждом из интервалов, своё для каждого интервала.

Теорема 24.2 (Коши) Пусть f(x),g(x) C[a, b], f(x), g(x) D(a, b), для всех точек . Тогда существует точкас (а, b)такая, что

.

◄Доказательство во многом подобно доказательству теоремы Лагранжа. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Во-первых, эта функция существует, так как по условию теоремы. Далее, она непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причём её производная равна . По теореме 23.2(Ролля) существует такая, что , т.е. , откуда сразу следует заключение теоремы.►

Замечание.Не стоит пытаться «упростить» доказательство теоремы Коши, применяя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю. Дело в том, что хотя и для существует некоторая точка , обозначим её , такая, что , и для существует некоторая точка , обозначим её , такая, что , мы не можем сразу утверждать, что эти точки совпадут, т.е.что . Это равенство следует как раз из приведённого выше доказательства.

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 195. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия