Студопедия — На экзамене это доказывать не требуется, однако ниже приведено доказательство этого утверждения – для тех, кому это интересно
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

На экзамене это доказывать не требуется, однако ниже приведено доказательство этого утверждения – для тех, кому это интересно






Доказать его легче всего используя правило Лопиталя (вопрос28).

Теорема 26.2. +28.5. Пусть в окрестности точки существуют и непрерывны , … и пусть существует . Тогда
при
.

◄ Обозначим , и рассмотрим отношение . По правилу Лопиталя(теореме 28.1), применённому раз, имеем

.Из определения следует, что . Поэтому

.Это означает, что = , что и требовалось доказать.

 

Вопрос 27. РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ex, sinx, cosx, lnx, (1+x)µ

 

Применим доказанные формулы Тейлора к функциям, перечисленным выше.

1) Так как , для всех выполняется равенство

.Следовательно, все эти производные равны 1 при x=0.

Поэтому , где ξ – некоторая точка между 0 и x. Другая запись для точки ξ: ξ = θ x, 0 < q <1. Это – разложение ex с остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для ex принимает вид
, .

 

2)Перейдём к функциям sinx, cosx:

, , , и т.д.

Эти равенства означают, что для любого . Поэтому имеет место формула , которую легко проверить для n=0,1,2,3, а для остальных n она верна ввиду установленного равенства .

Поэтому при x=0 имеем:
производная порядка 4k равна ;
производная порядка 4k+1 равна ;
производная порядка 4k+2 равна ;
производная порядка 4k+2 равна .

Следовательно,
, где ξ лежит между 0 и x.
Здесь – небольшая хитрость. Мы разложили функцию до членов степени 2n+2, что позволило сделать погрешность меньшей. Конечно, член выписывать не надо, он равен 0, а здесь он был помещён только для разъяснения вышеупомянутой «хитрости». Итак .

Аналогично,
и

Разложения для sinx и cosx по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеют вид:

, x→0

, x→0

3) Перейдём к функции . Её последовательные производные равны:

,

и т.д.

Вычисленная при х=0, производная порядка k равна

Поэтому

,

где ξ – некоторая точка между 0 и х.

Разложение с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

4) Наконец, вычислим последовательные производные функции :

, , , .

Вычисленная в точке , производная порядка равна .

Поэтому формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

,

где - между и . Это так называемое биноминальное разложение с остаточным членом в форме Лагранжа. Та же формула с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

, .

В качестве примера применения формулы Тейлора рассмотрим задачу нахождения с точностью до 0,001.

Сначала подготовим ее к применению формулы Тейлора. Для этого, зная, что , перепишем вычисляемую величину в виде .

Используем биноминальное разложение при

, .

Число членов разложения выберем, исходя из заданной точности. Для этого найдем такое, чтобы:

(1)

(тогда при умножении на стоящий впереди коэффициент 2 получаем требуемую точность 0,001).

Очевидно, что:

;

Далее, - между и , поэтому и ,

поэтому

Итак, абсолютная величина левой части неравенства (1) не больше, чем

. (2)

Поэтому если число (2) окажется меньше, чем 0,0005, то и остаточный член формулы будет меньше 0,0005 и требуемая точность будет достигнута.

Сразу ясно, что при

Число .

Поэтому требуемую точность для приближенной величины даёт приближённая формула:

.

 

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 440. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия