На экзамене это доказывать не требуется, однако ниже приведено доказательство этого утверждения – для тех, кому это интересно

◄ Обозначим , и рассмотрим отношение . По правилу Лопиталя(теореме 28.1), применённому раз, имеем

.Из определения следует, что . Поэтому

.Это означает, что = , что и требовалось доказать. ►

Применим доказанные формулы Тейлора к функциям, перечисленным выше.

1) Так как , для всех выполняется равенство

.Следовательно, все эти производные равны 1 при x=0.

Поэтому , где ξ – некоторая точка между 0 и x. Другая запись для точки ξ: ξ = θ x, 0 < q <1. Это – разложение e^x с остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для e^x принимает вид
, .

2)Перейдём к функциям sinx, cosx:

, , , и т.д.

Эти равенства означают, что для любого . Поэтому имеет место формула , которую легко проверить для n=0,1,2,3, а для остальных n она верна ввиду установленного равенства .

Поэтому при x=0 имеем:
производная порядка 4k равна ;
производная порядка 4k+1 равна ;
производная порядка 4k+2 равна ;
производная порядка 4k+2 равна .

Следовательно,
, где ξ лежит между 0 и x.
Здесь – небольшая хитрость. Мы разложили функцию до членов степени 2n+2, что позволило сделать погрешность меньшей. Конечно, член выписывать не надо, он равен 0, а здесь он был помещён только для разъяснения вышеупомянутой «хитрости». Итак .

Аналогично,
и

Разложения для sinx и cosx по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеют вид:

, x→0

, x→0

3) Перейдём к функции . Её последовательные производные равны:

,

и т.д.

Вычисленная при х=0, производная порядка k равна

Поэтому

,

где ξ – некоторая точка между 0 и х.

Разложение с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

4) Наконец, вычислим последовательные производные функции :

, , , .

Вычисленная в точке , производная порядка равна .

Поэтому формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

,

где - между и . Это так называемое биноминальное разложение с остаточным членом в форме Лагранжа. Та же формула с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

, .

В качестве примера применения формулы Тейлора рассмотрим задачу нахождения с точностью до 0,001.

Сначала подготовим ее к применению формулы Тейлора. Для этого, зная, что , перепишем вычисляемую величину в виде .

Используем биноминальное разложение при

, .

Число членов разложения выберем, исходя из заданной точности. Для этого найдем такое, чтобы:

(1)

(тогда при умножении на стоящий впереди коэффициент 2 получаем требуемую точность 0,001).

Очевидно, что:

;

Далее, - между и , поэтому и ,

поэтому

Итак, абсолютная величина левой части неравенства (1) не больше, чем

. (2)

Поэтому если число (2) окажется меньше, чем 0,0005, то и остаточный член формулы будет меньше 0,0005 и требуемая точность будет достигнута.

Сразу ясно, что при

Число .

Поэтому требуемую точность для приближенной величины даёт приближённая формула:

.