Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос 25: ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА




Формула Тейлора представляет собой один из основных инструментов математического анализа. Её смысл состоит в том, что функция представляется в виде , где – многочлен Тейлора, – остаточный член формулы Тейлора. В зависимости от вида она используется в различных целях: при вычислениях значений функций с заданной точностью, при исследовании асимптотического поведения функций и т.д.

Теорема 25.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа) Пусть , , …, непрерывны в окрестности точки и пусть в существует . Тогда для любого существует точка , лежащая между и такая, что

(1)

Примечание. В этом представлении функции величина называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Можно выписать более общую форму Шлёмильха и Роша (Schlömilch–Roche) остаточного члена:

, (2)

где – число, удовлетворяющее неравенствам , такое, что , а – любое число. Например, остаточный член в форме Лагранжа получится, если в этой общей форме (2). Иногда бывает удобен остаточный член в форме Коши, получаемый из (2) при :

.

Однако наиболее часто используется остаточный член в форме Лагранжа и мы докажем формулу Тейлора именно в таком виде.

◄Рассмотрим вспомогательную функцию

(3)

Поскольку эта функция получится вычитанием из многочлена от , а многочлен непрерывен и имеет непрерывные производные любого порядка, для функции сохраняются свойства функции , т.е. , , …, непрерывны в и существует в .

Пусть . Для определённости, пусть . Выберем число так, чтобы выполнялось равенство . Это возможно, поскольку при подстановке вместо в (3), это равенство примет вид линейного относительно уравнения с коэффициентом при , равным .

Теперь для применения следствия теоремы 23.2(Ролля) осталось только доказать, что выполняются равенства .

Для этого сначала вычислим -ю производную, , от функции в точке .

По формуле для производной степенной функции последовательно получаем:

, , … , , если . В точке эта величина обращается в 0.

Если , то .

Если же , то дальнейшее дифференцирование даст тождественный ноль. (Степень многочлена равна , т.е. он имеет вид , -кратное дифференцирование при каждого слагаемого, входящего в этот многочлен, даёт тождественный ноль)

Итак, все производные порядка , , функции равны 0 в точке , а .

Равенство справедливо по выбору . Для любого имеем, согласно доказанному выше

Все условия следствия теоремы 23.2 (Ролля ) выполнены, поэтому существует точка , такая, что . Но , значит ,т.е.

(4)

Вспоминаем, что и подставляем вместо в формулу (3), учитывая (4):
, что означает:

, (5)

Случай, когда вполне аналогичен и приводит к такому же равенству (5).

Замечание 1. Часто вместо пишут , где и наоборот, каждому такому соответствует число между и .

Замечание 2. Часто вместо точки пишут просто , а вместо пишут и формула Тейлора приобретает вид:

, (6)

Замечание 3. В случае, когда – независимая переменная, или линейная функция от независимой переменной, , и . Обозначим . При этом формула Тейлора записывается так:

(7)

Замечание 4. Особенно часто формула Тейлора используется, когда . Тогда и

(8)

Эту формулу часто называют также формулой Маклорена (Mac-Laurin).







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 666. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия