Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос 24:ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА, КОШИ.КРИТЕРИЙ ПОСТОЯНСТВА ФУНКЦИИ




Теорема 24.1 (Лагранж) Пусть f(x) C[a, b], f(x) D(a, b). Тогда существует точка с (а, b) такая, что f(b)-f(a) = f′ (c)(b-a).

◄Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – f(a) - . F(x) С[a, b], F(x) D(a, b), так как F(x) отличается от f(x) лишь слагаемыми, совокупность которых представляет собой линейную функцию от х, которая всюду непрерывна и дифференцируема. При этом F′(x) = f′ (x) - . (1)

Вычислим F(a) = f(a) – f(a) - (a – a) = 0. Аналогично, F(b) = f(b) – f(a) - (b – a) = f(b) (a) – f(b) + f(a) = 0.

Итак, все условия теоремы Ролля верны для функции F(x). Поэтому существует точка с (а, b) такая, что F′(c) = 0. С учётом формулы (1),
f′(c) - = 0,

что равносильно доказываемому равенству f(b) – f(a) = f′(c)(b-a).►

Замечание 1. Доказанную теорему также называют теоремой о среднем значении, а полученную в ней формулу – формулой конечных приращений.

Замечание 2. Если a›b и f(x) C[b, a], f(x) D(b, a), то существует точка с (b, a) такая, что

f(a) – f(b) = f′(c)(b – a).

Но это равенство можно записать так:

f(b) – f(a) = f′(c)(b – a).

Это означает, что формула конечных приращений верна как в случае a‹b, так и в случае a›b.

Замечание 3. Часто рассматривают точку х, приращение х (причём, согласно примечанию 2, возможно, что х‹0) и функцию f ,непрерывную на отрезке, соединяющем точки х и х + х и дифференцируемую хотя бы на этом интервале. Тогда доказанную формулу можно переписать в виде

f(x) = f(x + x) – f(x) = f′(ξ) x, (2)

где ξ – точка, лежащая между х и х + х. Так как для любой точки ξ между х и х + х существует число θ, 0‹ θ ‹1 такое, что ξ = x + θ x, формулу (2) записывают также в виде f(x) = f′( x + θ x) x







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 185. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия