Эластичность и её свойства

Определение. Пусть функция y определена в некоторой окрестности точки x, дифференцируема в точке x и y(x) ≠ 0. Эластичностью функции y в точке x называется величина

(y) = (1)

 

Если предположить, что x , то можно рассматривать величину

 

, (2)

 

которая характеризует величину относительного изменения y в результате соответствующего относительного изменения x; например, процентное изменение спроса на товар в результате однопроцентного изменения цены этого товара. Тогда из (1) и (2) следует, что

Если y>0, то по теореме о производной сложной функции.

Если y<0, то ,

поэтому при y<0

Следовательно, формулу (1) можно переписать в виде

при y>0

(3)

при y<0

 

Обе эти формулы можно объединить в одну: .

 

Теорема. 1) Если u, v – функции, для которых определены эластичности и ,

То: = + ,

(4)

- .

2) Если для функции y = y(x), определённой на интервале , существует обратная функция x = x(y), причём y дифференцируема на этом интервале и ни в одной точке x интервала не выполняется равенство , то для всех x 0, y 0 определены величины и ,

причём = (5)

 

◄ По формуле

 

= ;

= Равенства (4) доказаны.

Далее, по теореме о производной сложной функции ,

что в соответствии с (1) даёт

, т.е (5) ►