Теорема 23.2(М.Ролль) Пусть

Тогда существует точка с (a;b) такая, что =0.

◄Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], она принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m.

Если оказалось, что m=M, то это означает, что m=f(x)=M для всех x [a;b], т.е. функция - постоянная на [a;b]. Поэтому для всех х (a;b) имеет место равенство =0.

Если же m M, т.е. m<M, то хотя бы одно из этих значений функция принимает во внутренней точке [a;b].

Действительно, по условию 3) значения f(a) и f(b) равны друг другу и могут оказаться равны не более, чем одному из чисел m, M.

Пусть, например, М=f(c), где с (a;b). Так как М наибольшее значение функции f(x) на всем отрезке [a;b], то оно будет наибольшим и для x , т.е. с – точка локального экстремума.

По условию 2), в этой точке существует производная . По теореме Ферма, =0.►

Замечание 1. все условия теоремы Ролля являются существенными. Это означает, что если не выполняется одно из них, а остальные два выполняются, заключение теоремы может оказаться неверным.

Примеры. 1)

Выполнены условия 2) и 3), не выполнено условие 1). Для всех имеем =1.

2) f(x)= , x [-1;1].

Не выполнено условие 2), условия 1),3) выполнены. На интервале (-1;0): =-1; на интервале (0;1): =1. В точке x=0 производная не существует, поэтому на (-1;1) нет такой точки, что =0

3) f(x)=x

Выполнены первые 2 условия, третье на отрезке [0;1] не выполнено. Всюду на (0;1) имеем =1.