Теорема 19.3. Функция , имеющая производную в точке , дифференци­руема в этой точке

◄;По условию, существует . Следовательно, по теореме о представлении функции, имеющей предел в точке,

, (4)

где и при . Положим

Тогда также при и по формуле (4') для всех спра­ведлива формула (3). Тем самым, дифференцируема в точке (с коэффи­циентом ).►

Таким образом, сказать, что числовая функция дифференцируема в дан­ной точке, или что она имеет в этой точке производную, одно и то же. Нахо­ждение производной функции у функции называют дифференцировани­ем этой функции.

3. Касательная к графику функции

Как и нахождение скорости неравномерного движения, нахождение ка­сательной к кривой линии - одна из основных задач, решение которых при­вело к созданию дифференциального исчисления.

Рассмотрим частный случай задачи о касательной, когда линией служит график функ­ции.

Определение 19.3. Пусть числовая функция определена на невырожден­ном промежутке и непрерывна в его точке (так что расстояние от соответствующей точки графика до его точки , , стремится к нулю при ). Касательной к графику функции в точке называют такую прямую, проходящую через , что отношение расстояния от точки до этой прямой к расстоянию от до стремится к нулю при (т.е. что бесконечно мало по сравнению с при ).

Суть этого определения можно наглядно описать следующим образом: если пред­ставить, что точка движется по линии к точке касания , то, какова бы ни была точность наблюдения, с некоторого момен­та точка , будучи еще отличной от , уже неотличима от своей проекции на касательную (рис. 14). Таким образом, кривая, обладающая в точке каса­тельной, почти сливается с ней вблизи этой точки.

Теорема 19.4. Если функция, определенная на промежутке, дифференци­руема в его точке, то график этой функции имеет в соответствующей точ­ке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен.

◄ По условию и по теореме 19.2 предыдущего пункта, представление

, (5)

справедливо для всех , принадлежащих некоторой окрестности точки , и при . Прямая с угловым коэффициентом , проходящая через точку , име­ет уравнение

. (6)

Пусть - точка графика с абсцис­сой и (рис. 15), - про­екция этой точки на прямую (6) и - точка этой прямой с абсциссой . Тогда направленный отрезок равен , так что, вычитая (8) из (7), получаем . Так как , а , то . Но при . Следовательно, при , т.е. (7) - уравнение касательной к графику функции в его точке . ►