Обратная функция. Обратная функция – частный случай понятия обратного отображения (см

Обратная функция – частный случай понятия обратного отображения (см. определение 3.9). Если задана функция , обладающая тем свойством, что любое своё значение она принимает при единственном значении , то это даёт возможность рассматривать обратную функцию , такую, что равенства и равносильны. Примером служат функции . Ясно, что обе функциональные зависимости, и определяют одну и ту же кривую на плоскости. Часто рассматривают функцию (и именно эту функцию называют обратной). График такой функции получается из графика функции отражением относительно биссектрисы первого координатного угла.

Теорема 17.4. Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке. Тогда на промежутке, представляющем собой множество её значений (по теореме 17.3), определена обратная функция, которая также возрастает(убывает) и непрерывна.

◄Ограничимся случаем возрастания. По определению множества значений функции, для любого существует число такое, что . Так как возрастает на , то для любого выполняется неравенство , а для любого выполняется неравенство . Поэтому любое своё значение функция принимает ровно один раз, в точке , что и позволяет определить функцию такую, что для любого выполняется равенство . Легко видеть, функция возрастает на . Действительно, как показано выше, для любого значения соответствуют значениям , а значения соответствуют значениям . Но это означает, что и обратно, для любого значения соответствуют значениям , а значения соответствуют значениям . Наконец, для доказательства непрерывности на промежутке воспользуемся теоремой 14.1. Действительно, функция возрастает на промежутке и её множество значений образует промежуток . ►