Теорема 17.1.(Вейерштрасс) Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
. Тогда она ограничена на этом отрезке.
$ Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Предположим, что не ограничена на отрезке . Это означает, что для любого числа 
существует точка 
такая, что 
. Последовательно выбирая число равным числам 
, находим соответствующие точки 
такие, что 
. Эти точки образуют бесконечную последовательность, а так как все они принадлежат отрезку , т.е. 
, эта последовательность является ограниченной. Применяем теорему Больцано-Вейерштрасса для последовательностей, согласно которой существует подпоследовательность 
последовательности 
, сходящаяся к некоторому пределу, который будем обозначать 
. Так как 
, по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем: 
, т.е. 
и, следовательно, функция непрерывна в этой точке. Но это означает, что для любой последовательности, в частности, и для последовательности 
, стремящейся к , последовательность соответствующих значений 
должна стремиться к 
. Но 
, поэтому последовательность стремится к 
. Получено противоречие с предположением о неограниченности на отрезке .#
Замечание. Если функция непрерывна на интервале 
, то она может быть неограниченной на этом интервале. Например, функция 
на интервале 
непрерывна. Однако для любого числа имеет место неравенство 
, откуда 
и значение этой функции в точке 
равно 
.
