Тогда существует и этот предел равен с

◄Доказательство похоже на доказательство предыдущей теоремы.

То, что означает, что .

То, что означает, что .

Если потребовать, чтобы в некоторой проколотой окрестности точки a , то тогда можно по произвольному найти сначала число такое, что если , то . Теперь по этому находим так, чтобы из следовало неравенство . Пересекаем проколотые окрестности и . Это пересечение содержит некоторую проколотую окрестность точки a, и, если x принадлежит этой окрестности, то и , т.е. , следовательно, . В этом случае теорема доказана. Если же , то , поэтому выбирая по соответствующее , а потом по этому – соответствующее число получаем, что как только , так и, значит, .►

Примечание 1. Обычно при вычислении пределов мы используем монотонные замены переменной и условие 2 выполняется.

Примечание 2. Если не выполняется ни одно из условий, то может оказаться, что предел не существует, либо существует, но не равен с.

Первая ситуации встречается в таком примере:

При стремлении x к 0 функция имеет пределом число 0. При стремлении y к 0 функция имеет предел, равный 1.

Однако функция

не имеет предела при .

Пример второй ситуации более простой. Пусть

Очевидно, .

Пусть . Тогда .

Однако

Поэтому .

Определение 13.2. Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она разрывна в этой точке.

При этом предполагаем, что либо является точкой из области определения, либо она является предельной точкой области определения.

Точки разрыва делятся на следующие классы.

Определение 13.3. Точкой устранимого разрыва называется такая точка , что существует но при этом либо значение либо не определено, либо . В первом случае можно доопределить функцию в точке , во втором – переопределить функцию так, чтобы получилась непрерывная функция.

Поясним сказанное примерами:

1. Пусть . Эта функция не определена в точке , но её предел при существует и равен 1(теорема 9.5).Поэтому можно

доопределить функцию , рассмотрев функцию

По определению, функция – непрерывна в .

2. Пусть

Переопределим функцию в точке , положив .

Получилась непрерывная функция .

И в том, и в другом примере разрыв удалось устранить.

Определение 13.4. Точкой разрыва первого рода называется точка ,

в которой существуют и , причем .

Например, функция обладает разрывом в точке 0 первого рода.

Замечание. По следствию теоремы 10.2 монотонная в окрестности точки функция имеет и . Поэтому она либо непрерывна в точке a, когда оба эти предела равны друг другу, либо имеет в ней разрыв первого рода, когда эти пределы различные.

Определение 13.5. Е сли хотя бы один из пределов , не существует, или бесконечен, то говорят, что – точка разрыва второго рода.