Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тогда существует и этот предел равен с





◄Доказательство похоже на доказательство предыдущей теоремы.

То, что означает, что .

То, что означает, что .

Если потребовать, чтобы в некоторой проколотой окрестности точки a , то тогда можно по произвольному найти сначала число такое, что если , то . Теперь по этому находим так, чтобы из следовало неравенство . Пересекаем проколотые окрестности и . Это пересечение содержит некоторую проколотую окрестность точки a, и, если x принадлежит этой окрестности, то и , т.е. , следовательно, . В этом случае теорема доказана. Если же , то , поэтому выбирая по соответствующее , а потом по этому – соответствующее число получаем, что как только , так и, значит, .►

Примечание 1. Обычно при вычислении пределов мы используем монотонные замены переменной и условие 2 выполняется.

Примечание 2. Если не выполняется ни одно из условий, то может оказаться, что предел не существует, либо существует, но не равен с.

Первая ситуации встречается в таком примере:

При стремлении x к 0 функция имеет пределом число 0. При стремлении y к 0 функция имеет предел, равный 1.

Однако функция

не имеет предела при .

Пример второй ситуации более простой. Пусть

Очевидно, .

Пусть . Тогда .

Однако

Поэтому .

Определение 13.2. Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она разрывна в этой точке.

При этом предполагаем, что либо является точкой из области определения, либо она является предельной точкой области определения.

Точки разрыва делятся на следующие классы.

Определение 13.3. Точкой устранимого разрыва называется такая точка , что существует но при этом либо значение либо не определено, либо . В первом случае можно доопределить функцию в точке , во втором – переопределить функцию так, чтобы получилась непрерывная функция.

Поясним сказанное примерами:

1. Пусть . Эта функция не определена в точке , но её предел при существует и равен 1(теорема 9.5).Поэтому можно

доопределить функцию , рассмотрев функцию

По определению, функция – непрерывна в .

2. Пусть

Переопределим функцию в точке , положив .

Получилась непрерывная функция .

И в том, и в другом примере разрыв удалось устранить.

Определение 13.4. Точкой разрыва первого рода называется точка ,

в которой существуют и , причем .

Например, функция обладает разрывом в точке 0 первого рода.

Замечание. По следствию теоремы 10.2 монотонная в окрестности точки функция имеет и . Поэтому она либо непрерывна в точке a, когда оба эти предела равны друг другу, либо имеет в ней разрыв первого рода, когда эти пределы различные.

Определение 13.5. Е сли хотя бы один из пределов , не существует, или бесконечен, то говорят, что точка разрыва второго рода.

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 427. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Вопрос. Отличие деятельности человека от поведения животных главные отличия деятельности человека от активности животных сводятся к следующему: 1...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия