Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

.

 

Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.

1) - решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).

2) Зададим произвольные начальные условия , . Вычислим начальные условия для выбранного частного решения неоднородного уравнения . Получим систему линейных алгебраических уравнений для определения констант:

.

.

.

.........................................................................

.

Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом. Следовательно, - общее решение неоднородного уравнения.

 

Метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. . ().

Здесь обозначено , заметим, если - решение однородного уравнения, то .

Заметим, всегда, применяя метод вариации, надо делить на коэффициент при старшей производной, т.е. приводить уравнение.

 

Пусть найдено решение однородного уравнения

.

Варьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного уравнения в виде

.

Дифференцируем это соотношение

.

Потребуем, чтобы

.,

тогда .

Дифференцируем еще раз

.

Потребуем, чтобы

.,

тогда .

Вновь дифференцируем и т.д., в результате, после n-2 дифференцирования получим

.

.

Дифференцируем и подставляем

+ .

в неоднородное уравнение .

+ =

Так как - решения однородного уравнения, то .

Получим .

Это – последнее уравнение системы для определения варьированных констант. Соберем все уравнения в систему для определения констант.

.,

.,

........................................................

.

Так как определитель системы – определитель Вронского, не равный нулю в силу линейной независимости решений, то функции определяются из этой системы однозначно.

Теперь общее решение неоднородного уравнения определяется по формуле .