Лекции 17-18. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентамиНачнем изучение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с однородных уравнений второго порядка. Дело в том, что в приближенных инженерных расчетах, в инженерной практике, в исследовании процессов и систем все часто строится на анализе систем, моделями которых служат линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядка. Вспомним, например, что вся механика строится на втором законе Ньютона, который можно записать в виде дифференциального уравнения второго порядка. Основные элементарные функции являются решениями уравнений первого и второго порядков. Экспонента является решением уравнения , - решения уравнения . Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка . Будем искать его решение в виде . Подставляя в дифференциальное уравнение, получим Так как то имеем - характеристическое уравнение. Решая его, получим корни . Возможно три случая: 1) действительны и различны, 2) - комплексно сопряженные корни, 3) - действительный кратный корень.
В случае действительных, различных корней получаем решения . Для того, чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и общее решение записывается в виде , надо проверить линейную независимость . Составим определитель Вронского , так как . Заметим, что для уравнения второго порядка проверять линейную независимость можно проще. Надо показать, что . Тогда столбцы определителя Вронского линейно независимы и . В нашем случае при .
В случае комплексно сопряженных корней , применяя формулу Эйлера получим комплексно сопряженные решения . Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже является решением, то являются решениями. Они линейно независимы, так как . Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней можно записать по формуле .
В случае кратного действительного корня одно из решений можно выбрать в форме . Второе решение будем выбирать в виде . Подставим в дифференциальное уравнение, чтобы определить . , Так как - корень характеристического уравнения, то . Так как еще и кратный корень, то по теореме Виета . Поэтому . Для определения имеем уравнение , отсюда . Выберем , получим . Следовательно, . Решения линейно независимы, так как . Поэтому общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратного корня можно записать по формуле . Примеры. 1) 2) 3) 4) . 5) .
Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение - го порядка с постоянными коэффициентами. . Будем искать его решение в виде . Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, получим характеристическое уравнение . Каждому корню характеристического уравнения будет соответствовать определенное слагаемое в общем решении однородного уравнения. Если корень кратный кратности r, то такому корню будет соответствовать группа из r слагаемых в общем решении. Если среди корней характеристического уравнения есть простой действительный корень , то ему соответствует частное решение в фундаментальной системе решений и слагаемое в . Если все корни характеристического уравнения действительны и различны, то соответствующие им частные решения будут равны . Покажем, что эти решения линейно независимы. Составим определитель Вронского
Полученный определитель известен в алгебре как определитель Вандермонда, он равен нулю только, когда какие-либо из корней совпадают. Так как корни различны, то определитель Вронского не равен нулю, следовательно, решения линейно независимы и составляют фундаментальную систему решений. Поэтому . Если среди корней имеется действительный корень кратности r, то ему соответствуют частные решения , , ,... и группа слагаемых в общем решении Если среди корней имеется простая пара комплексно сопряженных корней , то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений и группа слагаемых в общем решении Если среди корней имеется пара комплексно сопряженных корней , кратности r, то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений ... и группа слагаемых в общем решении Примеры.
,
|