Первые интегралы
Пусть выполнены условия теоремы Коши. Рассмотрим решение задачи Коши Если в качестве начальных условий выбрать Знание одного первого интеграла позволяет понизить порядок системы на единицу. Знание общего интеграла дает общее решение системы, если только можно разрешить уравнение Производной скалярной функции в силу системы называется . Скалярная функция .
|
при заданных начальных условиях 
. По теореме Коши оно существует и единственно. Это решение 
можно представить себе как некоторую интегральную кривую, соединяющие точки 
, 
.
, то по теореме Коши через эту точку проходит та же единственная интегральная кривая, ее уравнение можно записать в виде 
. Зафиксируем 
, обозначим 
, получим соотношение 
– общийинтеграл системы дифференциальных уравнений (векторное соотношение). Первый интеграл системы дифференциальных уравнений – скалярная составляющая общего интеграла. Общийинтеграл системы дифференциальных уравнений – векторная функция, сохраняющая свое значение на решениях системы. Первый интеграл системы дифференциальных уравнений – скалярная функция, сохраняющая свое значение на решениях системы.
.
является первым интегралом, если
