Автономные системы и свойства их решений
Система называется автономной, если в ее правую часть не входит явно независимая переменная: Решение автономной системы можно рассматривать в пространстве координат
Свойства решений автономных систем. 1) Если
Следствие. Фазовая траектория В самом деле, любая точка
2) Две фазовых траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают. Пусть две различных фазовых траектории
Следствие. Множество фазовых траекторий автономной системы в фазовом пространстве представляет собой совокупность непересекающихся кривых.
Точка
3) Если точка В самом деле,
4) Любая фазовая траектория автономной системы есть траектория одного из трех типов: 1) гладкая, не самопересекающаяся кривая, 2) замкнутая гладкая кривая, 3) точка покоя.
|
.
, которое принято называть фазовым пространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией). Вообще говоря, любую систему можно сделать автономной, вводя дополнительную фазовую координату – независимую переменную 
и дополнительное уравнение 
. Фазовое пространство такой системы принято называть расширенным фазовым пространством.
- решение системы, то и 
тоже решение.
.
первой фазовой траектории является точкой 
второй фазовой траектории и наоборот.
имеют общую точку 
. Рассмотрим решение 
.
. Следовательно, по теореме Коши 
. Но 
- это траектория 
, сдвинутая на 
по аргументу. По следствию, обе фазовые траектории являются одной фазовой траекторией.
называется точкой покоя (точкой равновесия) автономной системы, если 
.
- решение системы.
.
