Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Автономные системы и свойства их решений





Система называется автономной, если в ее правую часть не входит явно независимая переменная: .

Решение автономной системы можно рассматривать в пространстве координат , которое принято называть фазовым пространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией). Вообще говоря, любую систему можно сделать автономной, вводя дополнительную фазовую координату – независимую переменную и дополнительное уравнение . Фазовое пространство такой системы принято называть расширенным фазовым пространством.

 

Свойства решений автономных систем.

1) Если - решение системы, то и тоже решение.

.

Следствие. Фазовая траектория - это та же фазовая траектория, что и .

В самом деле, любая точка первой фазовой траектории является точкой второй фазовой траектории и наоборот.

 

2) Две фазовых траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Пусть две различных фазовых траектории имеют общую точку . Рассмотрим решение .

. Следовательно, по теореме Коши . Но - это траектория , сдвинутая на по аргументу. По следствию, обе фазовые траектории являются одной фазовой траекторией.

 

Следствие. Множество фазовых траекторий автономной системы в фазовом пространстве представляет собой совокупность непересекающихся кривых.

 

Точка называется точкой покоя (точкой равновесия) автономной системы, если .

 

3) Если точка - точка покоя, то - решение системы.

В самом деле, .

 

4) Любая фазовая траектория автономной системы есть траектория одного из трех типов:

1) гладкая, не самопересекающаяся кривая,

2) замкнутая гладкая кривая,

3) точка покоя.

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 420. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия