Метод вариации произвольной постоянной
Общее решение однородной системы можно записать в виде
Будем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя вектор произвольных постоянных:
Вычисляем производную и подставляем в уравнение неоднородной системы:
Так как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению однородной системы, то
Интегрируя, получаем
Подставляя в
Здесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собой общее решение однородной системы, а второе слагаемое – частное решение неоднородной системы.
|
, где 
- фундаментальная матрица системы, 
- вектор произвольных постоянных.
.
,
,
. Поэтому в предыдущем уравнении (как и всегда в методе вариации) сокращается пара слагаемых. Получаем уравнение
. Так как фундаментальная матрица не вырождена (
), то отсюда получаем уравнение для определения вектора 
:
.
(здесь предполагается, что при вычислении интеграла вектор констант не добавляется, он уже добавлен в виде вектора 
).
, имеем
(
) 
.
