Методы прогноза и коррекции

Методы Адамса – Башфорта используют уже сосчитанное значение в точке n, t и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома мы можем использовать и точки t_{n+ 1}, t_{n+ 2} и т.д. Простейший случай при этом состоит в использовании точек t_{n +1}, t_n,…, t_{n - N} и построении интерполяционного полинома степени N +1. При этом возникает класс методов, известный как методы Адамса - Моултона. Если N = 0, то P - линейная функция, проходящая через точки (t_n, f_n) и (t_n+1, f_n+1), и соответствующий метод

(3.18)

является методом Адамса - Моултона второго порядка.

Если, N = 2, то P - кубический полином, построенный по точкам (t_{n+ 1}, f_{n+ 1}), (t_n, f_n), (t_{n- 1}, f_{n- 1}) и (t_{n- 2}, f_{n- 2}) и соответствующий метод

(3.19)

является методом Адамса-Моултона четвёртого порядка.

Заметим, что в формулах (3.18) и (3.19) значение f_{n+ 1} неизвестно. Дело в том, что для вычисления f (t_n+ 1, y_{n+ 1}) =f_{n+ 1} нужно знать три значения y_{n+ 1}, которое само пока является неизвестным. Например, соотношение (3.18) является уравнением

(3.20)

относительно неизвестного значения y_{n+ 1}. То же самое справедливо и относительно (3.19). Следовательно, методы Адамса-Моултона определяют y_{n+ 1} неявно и в силу этого называются неявными. В то же время, методы Адамса – Башфорта называются явными, поскольку они для нахождения значения y_{n+ 1} не требуют решения никаких уравнений. На практике обычно не решают уравнение (3.20), а используют совместно явную и неявную формулы, что приводит к методу прогноза и коррекции. Одним из широко используемых методов прогноза и коррекции является объединение методов Адамса четвёртого порядка (3.17) и (3.19):

В целом этот метод является явным. Сначала по формуле Адамса – Башфорта вычисляется значение , являющееся «прогнозом» для . Затем используется для вычисления приближенного значения , которое, в свою очередь, используется в формуле Адамса - Моултона. Таким образом, формула Адамса -Моултона «корректирует» приближение, даваемое формулой Адамса– Башфорта.

Может возникнуть вопрос - зачем вообще нужна коррекция, если прогноз имеет четвёртый порядок точности? Ответ на этот вопрос дает оценка величины членов, выражающих погрешность. Ошибка усечения ряда для формулы прогноза (3.17) равна:

а для формулы коррекции (3.19):

т. е. погрешность усечения ряда при коррекции в 13 раз меньше.

Рис. 3.5. Алгоритм метода прогноза и коррекции

Формулы коррекции гораздо более точны, чем формулы прогноза, а потому их использование оправданно, хотя и связано с дополнительными вычислениями (рис. 3.5). Чтобы добиться наибольшей точности вычисления, коррекцию в методах прогноза и коррекции часто повторяют на одном и том же шаге несколько раз. На практике для обеспечения сходимости решения достаточно 2-3 циклов коррекции.