Модифицированный метод Эйлера

Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен 0 y ¢(t), он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке t ₀+ h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке t ₀. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h в результаты вычислений вносится погрешность. Точность метода Эйлера можно существенно повысить, используя,

например, среднее значение производной в начале и конце интервала.

Рис. 3.4. Геометрическая интерпретация модифицированного метода

В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по простому методу Эйлера:

которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала f(t_n+1, ). Вычислив среднее между этим значением призводной и её значением в начале интервала, найдем более точное значение y_{n + 1}:

(3.11)

Графическая интерпретация модифицированного метода Эйлера представлена на рис. 3.4. Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить иначе. Для этого вернемся к разложению функции в ряд Тейлора.

Кажется очевидным, что, сохранив член с h ² и отбросив члены более высоких порядков, можно повысить точность. Однако чтобы сохранить член с h ², надо знать вторую производную y ’’(t ₀). Её можно аппроксимировать конечной разностью

Подставив это выражение в ряд Тейлора с отброшенными членами третьего порядка, найдем

что совпадает с ранее полученным выражением (3.11).

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий h ². За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления .

Примеры:

Определить решение дифференциальных уравнений модифицированным методом Эйлера

1) y ’ = xy.

Решение:

2)

 

Решение:

 

3)

Решение: