Законы алгебры логики

 

В логике высказываний известно много общезначимых формул, которые также называются законами логики высказываний. Основными законами являются следующие:

· законы идемпотентности:

o x Ù x = x

o x Ú x = x

· x Ù 1 = x

· x Ú 1 = 1

· x Ù 0 = 0

· x Ú 0 = x

· x Ù Ø x = 0 – закон противоречия

· x Ú Ø x = 1 – закон исключения третьего

· Ø Ø x = x – закон снятия двойного отрицания

· законы поглощения

o x Ù (y Ú x) = x

o x Ú (y Ù x) = x

Доказательство этих и последующих законов элементарно осуществляется с помощью построения таблиц истинности или простейших логических рассуждений.

Следующая группа законов представляет взаимосвязь между логическими операциями:

· (x º y) = (x ® y) Ù (y ® x)

· x ® y = Ø x Ú y

· законы Де Моргана

o Ø (y Ú x) = Ø y Ù Ø x

o Ø (y Ù x) = Ø y Ú Ø x

Замечательным следствием приведенных выше законов является следующий факт. Любую логическую формулу можно заменить равносильной ей, но содержащую только две логические операции: конъюнкцию или отрицание или дизъюнкцию или отрицание. Дальнейшее исключение логических операций, очевидно, невозможно, то есть приведенные пары представляют минимальный базис для построения правильно построенных формул. Однако существует операция, с помощью которой можно представить любую логическую связку. Эта операция получила название «штрих Шеффера» и определяется следующим образом:

х	у	х | у
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

На основании этого определения можно ввести следующие законы, выражающие взаимосвязь операции «штрих Шеффера» и других логических связок:

· Ø x = x | x

· x Ù y = (x | y) | (x | y)

Также следует отметить, что x | y = Ø (x Ù y).

К основным законам алгебры логики также относятся следующие:

· коммутативные законы

o х Ù y = y Ù х

o х Ú y = y Ú х

· дистрибутивные законы

o х Ù (y Ú z) = (х Ù y) Ú (х Ù z)

o х Ú (y Ù z) = (х Ú y) Ù (х Ú z)

· ассоциативные законы

o х Ù (y Ù z) = (х Ù y) Ù z

o х Ú (y Ú z) = (х Ú y) Ú z

Еще одним важным законом алгебры логики является закон двойственности. Пусть формула A содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Для операции конъюнкции двойственной считается дизъюнкция, а для дизъюнкции – конъюнкция. Тогда по определению формулы A и A* называются двойственными, если формула A* получается из A путем замены в ней каждой операции на двойственную. Например, для формулы (х Ú y) Ù z двойственной формулой будет (х Ù y) Ú z. Для двойственных формул справедлива следующая теорема: если формулы A и B равносильны, то равносильны и двойственные им формулы, то есть A* = B*. Данную теорему оставим без доказательства.

С помощью законов логики можно осуществлять равносильные преобразования. Такие преобразования используются для доказательств, приведения формул к заданному виду, упрощения формул.

Под сложностью формул обычно понимается количество символов, используемых для ее записи. То есть формула α проще формулы b, если α содержит меньше букв и логических операций. Например, для формулы (Ø (x Ú y) ® x Ú y) Ù y можно записать следующую цепочку преобразований, приводящих ее к более простому виду:

(ØØ (x Ú y) Ú x Ú y) Ù y = (x Ú y Ú x Ú y) Ù y = (x Ú y) Ù y = y.