Студопедия — Введение. Обеспечение высокого качества пищевой продукции предприятиями АПК невозможно без знаний свойств и особенностей строения перерабатываемого сырья и
Введение. Обеспечение высокого качества пищевой продукции предприятиями АПК невозможно без знаний свойств и особенностей строения перерабатываемого сырья и
Обеспечение высокого качества пищевой продукции предприятиями АПК невозможно без знаний свойств и особенностей строения перерабатываемого сырья и полуфабрикатов, а также без учета особенностей взаимодействия пищевых материалов с рабочими органами машин.
Знание физико-механических и других характеристик сырья и полуфабрикатов, например, таких как плотность, вязкость, прочность, термовлагопроводность, податливость и др., и умение оценивать степень их влияния на выходные параметры готовой продукции и эксплуатационные показатели самого оборудования является исходной предпосылкой для создания совершенных конструкций машин и аппаратов пищевых производств.
Основная цель данной методической разработки – обеспечить путем формулирования вопросов и кратких ответов на них осознанное и глубокое понимание основного курса лекций по физико-механическим свойствам сырья и готовой продукции, их влиянии на технологию обработки и конструкцию исполнительных органов и рабочих зон машин и аппаратов, а также побудить студента к самостоятельной работе.
Тема 1. Основные понятия инженерной реологии
1.1.Основные положения механики сплошных сред
1.2.Цели и задачи инженерной реологии в пищевых производствах
1.3.Понятие о тензорах и тензорном исчислении
1.1 Основные положения механики сплошных сред
Вопросы
Ответы
1. Что является основой реологии?
В основе реологии, как науки о течениях и деформациях материалов, лежит классическая механика сплошных сред, основными задачами которой является изучение состояния и поведения различных материалов с геометрических (деформации), кинематических (скорости деформаций) и динамических (напряжения) позиций.
2. Что происходит внутри физического тела при приложении к нему внешней нагрузки
В процессе обработки пищевое сырье и полуфабрикаты подвергаются внешним механическим и другим видам воздействий, в результате которых внутри тел в любой их точке возникают динамические состояния, характеризуемые определенной физической величиной, называемой напряжением. Напряжения возникают только внутри вещества и обуславливаются силами, действующими в данный момент на тело.
Кроме того, напряжения могут возникать внутри физических тел вследствие неоднородности температурного поля или как предыдущая «память» от термической или механической обработки материала.
3. Что понимается под сплошной средой, и какими параметрами она может быть охарактеризована?
Многие материалы, используемые пищевой промышленностью для производства продуктов питания, могут рассматриваться в виде системы большого количества материальных точек и быть представлены моделями сплошной среды.
Для описания состояний такой среды нужно знать некоторые параметры распределения, например, распределения плотности материала по сплошной среде. Так, средняя плотность распределения массы среды в объеме определяется отношением . Выделив элементарный объем, можно записать , откуда .
Аналогично, средняя плотность распределения сил, приложенных в точках сплошной среды при ее обработке в рабочих зонах технологического оборудования, определится как отношение главного вектора сил , приложенных в точках объема , к массе этого объема равной . Это отношение характеризует среднюю объемную силу , откуда .
Действия объемных сил, например, таких как, силы трения между слоями материала при его истирании или внешние силы, действующие на границе раздела сред, можно заменить действиями поверхностных сил, определяемых плотностью распределения по поверхности.
В отличие от механики абсолютно твердого тела и механики дискретных материальных точек механика сплошных сред оперирует характеристиками векторного и тензорного исчисления. Считают, что в механике сплошных сред все рассматриваемые физические величины непрерывно распределены в пространстве, которое занимает сплошная среда и в каждой точке этого пространства однозначно определены значения физических величин.
4. Как находятся главные векторы поверхностных сил, действующих на тело?
Главные векторы объемных и поверхностных сил, приложенные к конечным объемам или площадям поверхности, находятся суммированием элементарных объемных или поверхностных сил по объему или поверхности . При непрерывном распределении сил суммарные силы определяются объемными или поверхностными интегралами.
5. Что понимается под напряжениями, возникающими в физических телах?
Механика сплошных сред рассматривает явления, происходящие внутри физических тел. Приложенные к телу силы создают динамическую ситуацию в любой точке тела, которая характеризуется напряжением.
Сила , действующая по нормали к поверхности , приводит к появлению нагрузки в каждой точке тела, равной , что и является растягивающим или нормальным напряжением, т.е. напряжение – это нагрузка, отнесенная к единице площади.
Среднее напряжение в материале равно , где - площадь поверхности, на которую эти силы действуют, - главный вектор поверхностных сил. Выделив элементарный участок поверхности, можно получить вектор напряжения в точке , откуда элементарная поверхностная сила равна произведению .
Напряжения – это характеристики сил, действующих в определенной точке, интерпретируемые как относительные силы или силы, отнесенные к единице площади.
6. Каким методом находятся напряжения в физических телах?
Напряжения в сплошной среде находятся методом сечений.
В общем случае в сплошной среде можно в каждой ее точке провести бесконечное множество плоских сечений по-разному ориентированных в пространстве. Отбросив с одной стороны сечения сплошную среду и учтя ее действие на оставшуюся часть, можно найти поверхностную силу, приложенную к сечению со стороны отброшенной части. Отношение силы к площади сечения даст плотность распределения поверхностной силы по сечению или напряжение в данной точке среды, являющееся вектором. Ориентация элементарной площади сечения определяется единичным вектором нормали к ней.
Выделим в сплошной среде элемент в форме тетраэдра, боковые грани которого лежат в координатных плоскостях Ориентация наклонной грани определяется единичным вектором нормали . Единичными векторами к боковым граням будут орты координат . Четыре площади граней обозначим через и . Поскольку элементарный объем материала должен находится в равновесии, отбросим окружающую тетраэдр сплошную среду и заменим ее действие силами
Выделенный элементарный объем тетраэдра находится в равновесии под действием четырех поверхностных сил и объемной силы . Поскольку объемная сила имеет высший порядок малости по сравнению с поверхностными силами, то ее можно отбросить и записать равенство нулю главного вектора сил в виде .
7. На какие компоненты может быть разложен вектор силы, действующей на выделенной малой площадке тела?
Пусть необходимо найти силу, действующую на поверхность и имеющую наклон под произвольным углом , исходя из значений компонент тензора напряжений. Для этого выделим небольшую призму с одной наклонной гранью и параллельными осям координат другими гранями.
Разложение силы , действующей на наклонную грань с единичной нормалью , на компоненты
Сложим силы, действующие на призму.
Так, - компонента силы состоит из пяти частей по одной от каждой грани. Если , то силы от треугольных граней, перпендикулярных оси будут равны друг другу и противоположны по направлению.
На основание призмы действует Х - компонента силы , а на заднюю прямоугольную стенку . Сумма этих двух сил должна быть равна -компоненте внешней силы, действующей на наклонную грань призмы.
Пусть - единичный вектор нормали к наклонной грани призмы, а - действующая на грань сила. Тогда .
Составляющая напряжения по оси , действующего в этой плоскости, равна силе деленной на площадь наклонной грани, которая равна , т.е.
. (1)
Из рисунка видно, что отношение , где - угол между нормалью и осью . Обозначим его как . Аналогично . Тогда выражение (1) может быть записано как .
Обобщая полученный результат на произвольный элемент поверхности, получим или в общей форме .
Формула показывает, что можно выразить силу, действующую на произвольную площадь, через компоненты тензора и охарактеризовать тем самым внутреннее напряжение.
Поскольку численные значения компонент напряжения зависят от ориентации в пространстве площадки, на которой они действуют, то существует такая ориентация площадки, на которой напряжения будут иметь максимальное значение. Если рассечь тело плоскостью, расположенной под углом к горизонтальной оси, то сила растяжения, приложенная к телу по его оси, разложится на две составляющие – нормальную (перпендикулярно плоскости сечения) и тангенциальную (лежащую в плоскости сечения). Поскольку компоненты тензора напряжений равны отношению силы к площади, на которой они действуют, то можно записать:
- нормальное напряжение,
- касательное напряжение.
8. Какой величиной определяется ориентация в пространстве площадки, к которой приложена действующая сила?
Ориентация площадок задается вектором нормали к ней, который также раскладывается на компоненты по координатным осям. Поскольку ориентация площадок в пространстве, относительно которых будут рассматриваться внутренние силы, может быть разной, то и действующие на них силы будут разными, что свидетельствует о тензорной природе возникающих внутренних напряжений в теле от действия на него нагрузок.
Если сделать разрез в теле перпендикулярно оси , разложить действующую в разрезе силу на компоненты и взять отношение этих сил к выделенной элементарной площади , то получим три очевидных соотношения
Разложение действующей силы на три составляющие на элементарной площадке ортогональной к оси
Если сделать разрез перпендикулярно оси то соответственно получим еще три компоненты:
и т.д.
Аналогичным образом находятся три компоненты на площадке ортогональной оси : .
Разложение действующей силы на три составляющие на элементарной площадке ортогональной к оси
9. Что понимается под деформацией тела?
Любое внешнее воздействие на физическое тело приводит или к его смещению, или к изменению его первоначальной формы, или к суммарному действию этих эффектов.
Классическая механика занимается изучением движения тел, которые происходят без изменения их формы, механика сплошных сред изучает внутренние состояния этих тел, инженерная реология занимается свойствами пищевых материалов, которые определяются соотношениями между напряжениями и деформациями.
Изменение формы, т.е. изменение расстояний между различными точками в объеме тела, собственно и является деформацией тела.
Если взять внутри элементарного единичного кубика, находящегося в состоянии равновесия, какую-то материальную точку , то ее положение определится радиус-вектором с координатами . Если на кубик подействовать растягивающей силой , направленной параллельно оси , то он деформируется, и материальная точка в результате этой деформации займет новое положение с координатами , переместившись на величину .
В области упругих деформаций величина перемещения материальной точки с координатой пропорциональна самому , т.е. или, обозначая , .
Однородная деформация растяжения
- вектор перемещения, - вектор положения точки
1.2.Цели и задачи инженерной реологии в пищевых производствах
10. Что понимается под инженерной реологией и каково ее основное назначение как науки?
Инженерная реология - наука о деформации и течении различных тел, исследующая способы определения структурно-механических свойств сырья, полуфабрикатов и готовых продуктов с помощью соответствующего приборного оснащения с целью использования полученных результатов для совершенствования технологических процессов и повышения качества на всех стадиях производства готовой пищевой продукции.
Основное назначение инженерной реологии, как науки, состоит в определении свойств сырья и продуктов для использования их в качестве нормативов в технологической документации и в получении необходимых данных для расчета конструктивно-технологических параметров технологического оборудования.
11. Какие процессы исследуют, и какие показатели определяют методами инженерной реологии в пищевой промышленности, и с какой целью?
Методами инженерной реологии на основе биохимических, биофизических, физико-химических и органолептических показателей проводят исследование процессов структурообразования продуктов, определяют нормативные показатели структурно-механических свойств продуктов для использования в технологической документации, получают необходимые данные для проектирования и расчета технологического оборудования.
Протекание различных процессов: механических, тепловых, диффузионных, электрических и др. в значительной степени определяется структурно-механическими свойствами продуктов, которые зависят от внутреннего строения и состава продукта, характера взаимодействия между собой частиц или молекул, физико-химического состояния влаги в материале и других факторов, определяющих тип структуры.
12. Каким образом выражают свойства и поведение тел при проведении исследований методами инженерной реологии?
При проведении реологических исследований свойства и поведение реальных тел выражают в виде математических или механических моделей, которые с теми или иными допущениями характеризуют параметры их изменения в процессе обработки.
Пищевые продукты, большинство из которых относится к сложным дисперсным системам, характеризуются определенными физико-химическими свойствами, среди которых важнейшее место занимают реологические свойства.
Развитие реологии, как составной части механики сплошных сред и как науки о течении и деформации тел, способствовало созданию и применению новых методов анализа процессов переработки пищевых масс и способов получения продуктов с задаваемыми свойствами, а также новых подходов при проектировании технологического оборудования пищевых производств.
Прогнозирование поведения пищевых масс при их обработке в технологических потоках требует определения количественных характеристик реологических свойств, таких как прочность, упругость, пластичность, вязкость и др., что целесообразно проводить на базе теории упругости, вязкоупругости, вязкопластичности и др. с применением известных реологических моделей или созданием новых их комбинаций.
13. Каковы основные задачи инженерной реологии в пищевой промышленности?
К основным задачам реологии в пищевой промышленности относятся:
- определение реологических характеристик продуктов при различных значениях технологических факторов;
- создание средств технического оснащения для изучения деформирования реальных продуктов;
- разработка обоснованных методов расчета технологических процессов и технических систем;
- управление структурными свойствами и качеством продукции
14. В какие группы в зависимости от действующих усилий и возникающих от них в обрабатываемых материалах напряжений объединяются реологические свойства материалов?
Реологические свойства продукции характеризуют ее поведение в условиях напряженного состояния при воздействии внешней нагрузки, которая приводит к смещениям тел и деформациям материала в рабочих зонах машин. Это поведение зависит от формы и размеров тела, скорости деформации, структуры продукта, температуры, давления и других факторов.
В зависимости от действующих усилий и возникающих от них в обрабатываемых материалах напряжений реологические свойства объединяются в три основные группы:
- сдвиговые свойства, характеризующие поведение продукта при действии касательных напряжений;
- компрессионные свойства, характеризующие поведение продукта при действии усилий сжатия;
- поверхностные свойства, возникающие на гранях раздела сред при воздействии нормальных и касательных напряжений.
15. Какие показатели определяются при изучении компрессионных свойств пищевых материалов?
Определение упругопластических показателей, закономерностей изменения плотности от давления, характеристик ползучести и релаксации напряжений составляет предмет исследований при изучении компрессионных свойств.
16. Какие зависимости определяют при построении реологических моделей тел и их сдвиговых характеристик?
Для выявления сдвиговых характеристик и определения типа реологической модели проводят анализ зависимостей величины касательных напряжений от скоростей сдвига (кривых течения).
17. Какие оценки необходимо получить при исследовании поверхностных свойств пищевых материалов?
Оценки адгезионных и фрикционных характеристик продуктов, зависимостей адгезионного давления от величины напряжения, скорости отрыва получают при изучении поверхностных свойств. Фрикционные показатели оценивают по статическим и динамическим коэффициентам трения.
1.3.Понятие о тензорах и тензорном исчислении
18. Что понимается под полем физической величины?
Совокупность значений физических величин, соответствующая точкам пространства, определяет поле этих величин.
Это поле задается функциями координат в области определения физической величины при ограничениях непрерывности и существования производных по координатам.
Если каждой точке пространства ставится в соответствие какая-то скалярная величина , то возникает скалярное поле. К таким полям относятся, например, поле температуры, поле плотности в неоднородной среде, потенциал силового поля и др. Скалярные поля наглядно представляются с помощью поверхностей уровня, на которых имеют одинаковые значения. Например, температурное поле, как поле скалярной величины, задается одной функцией координат и времени или , где - радиус-вектор точки .
19. Что понимается под градиентом скалярного поля?
Градиент скаляра дает значение и направление наиболее быстрого возрастания . Он направлен перпендикулярно к поверхности уровня .
Градиентом скалярного поля называется вектор , определяемый в каждой точке поля соотношением
, где - оператор Гамильтона (набла-оператор). Отсюда .
20. Каким образом вводится понятие векторного поля?
Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят о векторном поле. Примером такого поля является поле скоростей частиц движущейся жидкости или вязкой массы. Как и для скалярных полей записывают или . Например, в декартовых координатах запись векторного поля выглядит следующим образом .
Если для векторного поля существует функция такая, что , т.е. , то называется потенциалом векторного поля.
Если рассматривается поле векторной величины, то проекции вектора на оси координат зависят от выбора этих осей в пространстве, но длина вектора при этом является инвариантной.
21. Что называется векторной суммой двух векторов
Векторная сумма двух векторов и одного класса есть вектор, соответствующий геометрической сумме соответствующих направленных отрезков (правило параллелограмма)
22. Что представляет собой произведение вектора на скаляр (действительное число) ?
Произведение вектора на скаляр есть вектор, соответствующий направленному отрезку в раз более длинному, чем отрезок, соответствующий вектору , и направленному в случае отрицательного в сторону, противоположную вектору .
23. Каким образом задается вектор в декартовой прямоугольной системе координат?
Если в пространстве задана правая прямоугольная система декартовых координат, то единичные векторы осей и соответственно образуют систему базисных векторов.
Координаты вектора являются декартовыми прямоугольными координатами вектора .
24. Чему равно скалярное произведение векторов и ?
Скалярное (внутреннее) произведение векторов и обозначается или и является числом , где - угол между и .
25. Чему равно векторное произведение двух векторов?
Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторов и есть вектор, модуль которого равен .
Его направление перпендикулярно к обоим векторам и и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте от к на угол меньший .
26. В каком случае два вектора будут линейно зависимы?
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.
27. Что понимается под дивергенцией векторной функции точки?
Дивергенция векторной функции точки есть скалярная функция точки, определяемая формулой
Дивергенцией векторного поля называют производную по объему поля в точке : . Дивергенция есть мера источников поля, если она равна нулю, то векторное поле свободно от источников.
Дивергенция некоторого вектора определяется пределом отношения векторного потока через малую замкнутую поверхность, окружающую какую-либо точку расхождения или схождения этого потока, к объему, ограниченному той же малой поверхностью (мощность источника)
28. Что понимается под ротором векторной функции точки?
Ротор векторной функции точки есть векторная функция точки, определяемая формулой
Ротор (вихрь) векторного поля векторного поля - это производная по объему поля в точке , т.е. .
Наглядно понятие ротора вводится с помощью понятия циркуляции векторного поля вдоль замкнутой кривой : . Циркуляция есть мера завихренности векторного поля.
Ротор некоторого вектора определяется как предел отношения наибольшей циркуляции вокруг малой замкнутой поверхности, окружающей какую-либо точку, к величине площади этой поверхности
29. Каково координатное представление ротора?
Координатное представление ротора задается следующей формулой:
Если в произвольном поле скоростей , то это означает, что в точке нет местного вращательного движения.
Циркуляция векторного поля
30. В чем сущность теоремы о дивергенции (теоремы Гаусса-Остроградского)?
Теорема о дивергенции связывает объемные интегралы по области и поверхностные интегралы по границе этой области. Область предполагается ограниченной и пространственно односвязной, поверхность - замкнутой и регулярной.
Область в евклидовом трехмерном пространстве называется пространственно-односвязной, если любую простую замкнутую поверхность типа сферы, лежащую в , можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из .
Регулярной поверхностью называется двухсторонняя простая (замкнутая или незамкнутая) поверхность, составленная из конечного числа регулярных кусков с общими регулярными дугами и точками.
Точка поверхности называется регулярной точкой, если при некотором параметрическом задании поверхности функции имеют в рассматриваемой точке непрерывные частные производные первого порядка и по меньшей мере один из определителей отличен от нуля.
Формулировка теоремы о дивергенции: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью.
31. В чем сущность теоремы о роторе (теоремы Стокса)?
Если векторная функция однозначна и имеет непрерывные частные производные всюду в конечной поверхностно-односвязной области и если лежащая в области поверхность односвязна, регулярна и ограничена регулярной замкнутой кривой , то криволинейный интеграл от по замкнутому контуру равен потоку ротора через поверхность, натянутую на контур. При этом ориентация площадки должна быть согласована с ориентацией контура по правилу правого винта.
32. Каким образом вводится формальное понятие тензора?
В статике и кинематике сплошной среды встречаются задачи, когда требуется перейти от одного вектора к другому. Этот переход может задаваться линейным преобразованием или в проекциях или , где совокупность коэффициентов линейного преобразования одного физического вектора в другой физический вектор определяет тензор второго ранга (по числу индексов при ).
Пусть имеются два вектора и с одинаковыми скалярами и разными тройками векторов, расположенных в разных плоскостях, то векторы и называются аффинными по отношению один к другому. Форму зависимости векторов и , выраженную относительно , называют линейной вектор-функцией и обозначают . Линейный оператор , который формально надо умножить на , чтобы перешло в , называется тензором (или аффинором).
Пусть три единичных вектора правой декартовой системы координат, причем , то для векторов можно записать
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...
Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...
Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...
Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45
После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...
распределения массы среды в объеме 
определяется отношением 
. Выделив элементарный объем, можно записать 
, откуда 
.
Аналогично, средняя плотность распределения сил, приложенных в точках сплошной среды при ее обработке в рабочих зонах технологического оборудования, определится как отношение главного вектора сил 
, приложенных в точках объема 
. Это отношение характеризует среднюю объемную силу 
, откуда 
.
Действия объемных сил, например, таких как, силы трения между слоями материала при его истирании или внешние силы, действующие на границе раздела сред, можно заменить действиями поверхностных сил, определяемых плотностью распределения по поверхности.
В отличие от механики абсолютно твердого тела и механики дискретных материальных точек механика сплошных сред оперирует характеристиками векторного и тензорного исчисления. Считают, что в механике сплошных сред все рассматриваемые физические величины непрерывно распределены в пространстве, которое занимает сплошная среда и в каждой точке этого пространства однозначно определены значения физических величин.
. При непрерывном распределении сил суммарные силы определяются объемными или поверхностными интегралами.
, действующая по нормали к поверхности 
, что и является растягивающим или нормальным напряжением, т.е. напряжение – это нагрузка, отнесенная к единице площади.
Среднее напряжение в материале равно 
, где 
- главный вектор поверхностных сил. Выделив элементарный участок поверхности, можно получить вектор напряжения в точке 
, откуда элементарная поверхностная сила равна произведению 
.
Напряжения – это характеристики сил, действующих в определенной точке, интерпретируемые как относительные силы или силы, отнесенные к единице площади.
определяется единичным вектором нормали 
к ней.
Выделим в сплошной среде элемент в форме тетраэдра, боковые грани которого лежат в координатных плоскостях 
Ориентация наклонной грани определяется единичным вектором нормали 
. Четыре площади граней обозначим через 
и 
. Поскольку элементарный объем материала должен находится в равновесии, отбросим окружающую тетраэдр сплошную среду и заменим ее действие силами 
Выделенный элементарный объем тетраэдра 
находится в равновесии под действием четырех поверхностных сил и объемной силы 
. Поскольку объемная сила имеет высший порядок малости по сравнению с поверхностными силами, то ее можно отбросить и записать равенство нулю главного вектора сил в виде 
.
, исходя из значений компонент тензора напряжений. Для этого выделим небольшую призму с одной наклонной гранью 
и параллельными осям координат другими гранями.
Разложение силы 
, действующей на наклонную грань с единичной нормалью 
- компонента силы состоит из пяти частей по одной от каждой грани. Если 
, то силы от треугольных граней, перпендикулярных оси 
будут равны друг другу и противоположны по направлению.
На основание призмы действует Х - компонента силы 
, а на заднюю прямоугольную стенку 
. Сумма этих двух сил должна быть равна 
- действующая на грань сила. Тогда 
.
Составляющая напряжения по оси 
, действующего в этой плоскости, равна силе 
деленной на площадь наклонной грани, которая равна 
, т.е.
. (1)
Из рисунка видно, что отношение 
, где 
. Обозначим его как 
. Аналогично 
. Тогда выражение (1) может быть записано как 
.
Обобщая полученный результат на произвольный элемент поверхности, получим 
или в общей форме 
.
Формула показывает, что можно выразить силу, действующую на произвольную площадь, через компоненты тензора 
и охарактеризовать тем самым внутреннее напряжение.
Поскольку численные значения компонент напряжения зависят от ориентации в пространстве площадки, на которой они действуют, то существует такая ориентация площадки, на которой напряжения будут иметь максимальное значение. Если рассечь тело плоскостью, расположенной под углом 
- нормальное напряжение,
- касательное напряжение.
на компоненты и взять отношение этих сил к выделенной элементарной площади 
, то получим три очевидных соотношения
Разложение действующей силы на три составляющие на элементарной площадке ортогональной к оси 
Если сделать разрез перпендикулярно оси 
и т.д.
Аналогичным образом находятся три компоненты на площадке ортогональной оси 
.
Разложение действующей силы на три составляющие на элементарной площадке ортогональной к оси 
, то ее положение определится радиус-вектором 
с координатами 
. Если на кубик подействовать растягивающей силой 
с координатами 
, переместившись на величину 
.
В области упругих деформаций величина перемещения материальной точки с координатой 
пропорциональна самому 
или, обозначая 
, 
.
Однородная деформация растяжения
- вектор перемещения, 
ставится в соответствие какая-то скалярная величина 
, то возникает скалярное поле 
. К таким полям относятся, например, поле температуры, поле плотности в неоднородной среде, потенциал силового поля и др. Скалярные поля наглядно представляются с помощью поверхностей уровня, на которых 
или 
, где 
- радиус-вектор точки 
дает значение и направление наиболее быстрого возрастания 
.
Градиентом скалярного поля 
называется вектор 
, определяемый в каждой точке поля соотношением
, где 
- оператор Гамильтона (набла-оператор). Отсюда 
.
, то говорят о векторном поле 
. Примером такого поля является поле скоростей частиц движущейся жидкости или вязкой массы. Как и для скалярных полей записывают 
или 
. Например, в декартовых координатах запись векторного поля выглядит следующим образом 
.
Если для векторного поля 
, т.е. 
, то 
двух векторов 
и 
одного класса есть вектор, соответствующий геометрической сумме соответствующих направленных отрезков (правило параллелограмма)
?
раз более длинному, чем отрезок, соответствующий вектору 
осей 
и 
соответственно образуют систему базисных векторов.
Координаты 
вектора 
являются декартовыми прямоугольными координатами вектора 
или 
и является числом 
, где 
- угол между 
(другое обозначение 
) двух векторов 
.
Его направление перпендикулярно к обоим векторам 
.
есть скалярная функция точки, определяемая формулой 
Дивергенцией 
векторного поля 
. Дивергенция есть мера источников поля, если она равна нулю, то векторное поле свободно от источников.
Дивергенция некоторого вектора 
Ротор (вихрь) векторного поля 
векторного поля 
поля 
.
Наглядно понятие ротора вводится с помощью понятия циркуляции векторного поля вдоль замкнутой кривой 
: 
. 
Если в произвольном поле скоростей 
, то это означает, что в точке 
Циркуляция векторного поля
этой области. Область 
имеют в рассматриваемой точке непрерывные частные производные первого порядка и по меньшей мере один из определителей отличен от нуля.
Формулировка теоремы о дивергенции: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью.
, то криволинейный интеграл от 
через поверхность, натянутую на контур 
должна быть согласована с ориентацией контура 
или в проекциях 
или 
, где совокупность коэффициентов линейного преобразования 
одного физического вектора в другой физический вектор определяет тензор второго ранга (по числу индексов при 
).
Пусть имеются два вектора 
и 
с одинаковыми скалярами 
и разными тройками векторов, расположенных в разных плоскостях, то векторы 
называются аффинными по отношению один к другому. Форму зависимости векторов 
. Линейный оператор 
, который формально надо умножить на 
три единичных вектора правой декартовой системы координат, причем 
, то для векторов можно записать 
