Студопедия — Выпуклость и вогнутость кривой на промежутке.Точка перегиба графика функции
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Выпуклость и вогнутость кривой на промежутке.Точка перегиба графика функции






Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

Определение 1: Кривая называется выпуклой (обращена выпуклостью вверх) на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом участке.

Определение 2: Кривая называется вогнутой (обращена выпуклостью вниз) на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом участке.

b
b
X
Y
O
a
X
Y
O
a
Выпуклость вниз
Выпуклость вверх
Рис. 1

Рассмотрим теперь достаточный признак, позволяющий установить, является ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема 1: Пусть функция имеет вторую производную во всех точках некоторого интервала . Если во всех точках этого интервала , то график функции в этом интервале выпуклый (имеет выпуклость вверх), если же , то – вогнутый (имеет выпуклость вниз).

Определение 3: Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

рис 2.

На рисунке 2 изображён график функции y = x 3

Точкой перегиба является точка 0.

Нахождение точек перегиба графика функции основано на следующих двух теоремах.

Теорема 2: (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку с абсциссой , то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Теорема 3: (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть функция имеет в интервале непрерывную вторую производную . Тогда, если точка с абсциссой является точкой перегиба графика данной функции, то .

Абсциссы точек перегиба графика непрерывной функции следует искать среди тех точек, в которых вторая производная или равна нулю или разрывна (в частности, не существует).

Пример:

Функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6 x, но

6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0при x < 0, следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3. График функции на рисунке 2.

5. Правило исследования функции на выпуклость вогнутость кривой и нахождения точек перегиба графика функции.

1. Находим область определения функции, а заодно устанавливаем интервалы ее непрерывности и точки разрыва (стандартное начало любого исследования функции).

2. Находим вторую производную y′′=f′′;(x).

Находим те точки (значения x), в которых вторая производная функции или равна нулю, или не существует. Для этого надо решить уравнение y′′=0 и найти область определения y′′.

3. Наносим все найденные (подозрительные на перегиб) точки на область определения функции (на ось ох) и отмечаем (например, дугами) интервалы, на которые разобьется этими дугами область определения функции. В каждом из этих интервалов выясняем знак второй производной y′′=f′′;(x). По установленным знакам этой производной отмечаем интервалы выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз) функции (при y'' < 0 – выпуклость, при y'' > 0 – вогнутость), а также точки перегиба функции.

4. Вычисляем значения функции y=f(x) во всех найденных точках ее перегиба и находим тем самым точки перегиба графика функции.

Пример:Исследовать на выпуклость и точки перегиба функцию у = -

Проведём исследование по схеме:

1. Функция у = - многочлен, а это значит, что она имеет область определения – множество R.

2. Найдём = - y'' = -6.

3. Найдём точки, в которых y'' = 0: - 6 = 0 ⇒ х = 1; y'' – существует при любом значении х.

4. Отметим на оси (ох) точку х = 1. Определим знаки y'' слева и справа от точки х = 1. Слева y'' , а это означает, что на промежутке ( 1) выпуклость графика имеет направление вверх. Справа от точки х = 1 y'' , это значит, что на промежутке (1; выпуклость графика имеет направление вниз.

6. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая (кривая) линия, к которой стремится линия графика, но не пересекает её.

Различают три типа асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

1. Прямая линия является вертикальной асимптотой графика , если хотя бы один из пределов(правосторонний или левосторонний) . Прямая может быть вертикальной асимптотой и в том случае, если - точка разрыва второго рода или граничная точка области определения. Например, в точке . Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.

2. Прямая является горизонтальной асимптотой, если . При условии , находят правостороннюю горизонтальную асимптоту , если , то — левосторонняя горизонтальная асимптота.

3. Наклонные асимптотыописываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть . Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа и . . Зная , рассмотрим снова предел: . Он выполняется лишь при условии, что . Таким образом, найдены и , а с ними и уравнение наклонной асимптоты.

Если , то получаем частный случай горизонтальной асимптоты . При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении или ) делается вывод, что наклонной асимптоты нет.

На рисунке 2 изображены вертикальная и наклонная асимптоты.

Рис. 2. — вертикальная асимптота; – наклонная асимптота.

Пример 1.

Решение:Найдём вертикальную асимптоту. Точка х = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причём , . Затем находим наклонные асимптоты: ;

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты

Пример 2.

Решение: Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Найдём наклонную асимптоту:

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = х.

7. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке [a;b].

Определение1. Говорят, что функция достигает на множестве X своего наименьшего (наибольшего) значения в точке , если для любого имеет место неравенство ().

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений.

Рисунок 1
Следствие. Если функция дифференцируема на интервале , то она достигает на отрезке наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка.

(рисунок 1.)

Для функции, график которой изображен на рисунке 1, имеются две точки максимума () и одна точка минимума (), но её наибольшее значение равноf(, а наименьшее значение равно f(a).

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке .

1. Найти производную функции

2. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции

3. Отметить критические точки на области определения

4. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов

5. Выяснить поведение функции в каждом интервале

7. Учитывая поведение функции, определить точки максимума и точки минимума и значения функций в этих точках.

8. Найти значения функции на концах отрезка ,то естьнайти f(a) и f(b). После этого, из всех экстремальных значений функции и её значений на концах отрезка выбрать наибольшее и наименьшее.







Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 1443. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия