Предел функции в точке
y f(x)
A + e A A - e
0 a - Daa + Dx
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что 0 <ïx - aï<D верно неравенство ïf(x) - Aï<e. Запись предела функции в точке: 2. Бесконечно малая функция в точке (на бесконечности). Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно малой функцией в точке x=a (при x Теорема:Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке а, как и произведение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке а. 3. Бесконечно большая функция в точке (на бесконечности). Определение:Функция Записывают это так: Важно помнить, что не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке. 4. Теоремы о связи между бесконечно малой и бесконечно большой функциями в точке. Теорема 1: Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a. Пример:Ясно, что при x→+∞;функция y = x2+ 1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция Теорема 2 (обратная): Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией. 5. Теоремы о пределах функции:о сумме; о произведении; о частном двух функции; о постоянном множителе). Основные теоремы о пределах. Теорема 1. Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а. Теорема 2. Доказательство этой теоремы будет приведено ниже. Теорема 3. Следствие. Теорема 4. 6. Правило раскрытия неопределенности типа Пример:
При вычислении предела неопределённости вида 7. Правило раскрытия неопределенности типа Пример:
При вычислении неопределённости вида При раскрытии неопределённостей вида Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, пусть
Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если Замечание 2. Теоремаостаётся верной и в случае, когда Пример 1. Пример 2. Пример 3. Неопределённости вида Правило Лопиталя остаётся справедливым при замене условия Пример 4.
|
), если её предел в этой точке равен нулю: 
.
называется бесконечно большой функцией в точке 
, если для любой сходящейся к а последовательности 
значений аргумента соответствующая последовательность 
значений функции является бесконечно большой.
, 
, 
, 
. 
– бесконечно малая при x→+∞;, т.е. 
.
, где С = const.
при 
.
.
.
..
, причём 
в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения 
(конечный или бесконечный),то существует и предел 
, причём справедлива формула
.
и 
удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(x).
.
на условие 
.
