Интегрирование заменой переменной
Теорема 1: Пусть: 1) f(x) – непрерывная функция на отрезке [ a, b ]; 2) функция
Формула (1) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле. Пример 1. Решение: Выполним подстановку
Пример 2. Решение: Применим здесь подстановку
Пример 3. Решение: По формуле Ньютона-Лейбница имеем Если использовать для интегрирования подстановку, например,
Данный ответ неверный, так как при замене использовалась функция Нельзя также использовать замену Можно использовать замену
Данный пример рассмотрен для наглядности, чтобы понять, какие замены можноиспользовать, а какие - нет.
|
дифференцируема на [ 
], причём 
непрерывна на [ 
] и множеством значений функции 
. Тогда справедлива формула
(1)
. Тогда 
при х = 0 и 
при х = 1. Поскольку функция 
непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для неё, в силу теоремы 4 существует первообразная на этом отрезке. Получаем
Тогда 
при х = 0, 
при х = а. Подставляя всё это в исходный интеграл, получим
, то получим:
.
(по теореме 1 функция должна быть непрерывна на этом промежутке).
, так как на концах промежутка функция принимает одинаковые значения.
