Определение производной функции, геометрический и физический смыслы производной
Придадим значению аргумента х0 функции f(x), определённой на промежутке Х, произвольное приращение Δ х так, чтобы точка х0 + Δ х также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции f(x) составит Δ у = f(x + x0) – f(x0). Определение 1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента Δ х → 0 (если этот предел существует). Для обозначения производной функции применяют символы
Геометрический смысл производной Определение 2. Касательной к графику функции y = f(x) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой f(x).
Таким образом, если производная функции f(x) в точке х0 существует, то
Производная Физический смысл производной Производная функции определяет мгновенную скорость функции. 3. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций: 1. Если функции
Пример 1. Найти производную функции
2. Если функции
Пример 2. Найти производную функции
3. Если функция
Пример 3. Найти производную функции
4. Если в данной точке
Пример 4. Найти производную функции
Таблица производных элементарных функций. 1. 2. 3. 4. 5. 7.
4.Сложная функция и правило ее дифференцирования. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
Пример 1. Найти производную функции
Практические задания: Найти производные функции: 1. 3. 5. Тема 4: «Применение производной функции в построении графиков функции».
|
или 
(1)
)
. (2)
равна тангенсу угла между касательной к графику функции y = f(x) в точке М(х0, f(x0)) и положительным направлением оси (ох)
и 
дифференцируемы в данной точке 
, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:
(1)
(2)
. При этом данную константу можно вынести за знак производной:
(3)
, то в той же точке дифференцируемо и их частное 
, причем:
(4)
где С – постоянное число.
; в частности, 
, 
в частности, 
в частности, 
6. 
8. 
(5)
2. 
4. 
6. 
