Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Методика составления дифференциальных уравнений элементов непрерывных САУ с сосредоточенными параметрами, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями




 

Любая САУ представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов (звеньев), соединенных между собой связями.

Первым шагом при составлении уравнений динамики является разделение системы на отдельные звенья и составление уравнений этих звеньев. Этот процесс связан с выявлением физических законов, определяющих поведение звеньев. Такими законами являются: закон сохранения вещества, закон сохранения энергии, второй закон Ньютона или какой-либо из других законов физики. Дифференциальные уравнения звеньев и уравнения связей между звеньями описывают процессы в системе управления, т.е. изменение во времени всех координат системы. Из них составляют структурную схему САУ.

Структурная схема САУ характеризует геометрию системы, т.е. показывает, из каких звеньев состоит САУ, и как эти звенья связаны между собой. На схеме указываются пути распространения сигналов в системе. Состояние САУ, а также каждого входящего в него звена, характеризуется входными (g(t),xi(t)) и выходными величинами (y(t),xj(t)).

Во многих случаях САУ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и, в частности, из-за нелинейности статистических характеристик звеньев САУ. Для упрощения анализа, когда это возможно, исходные нелинейные уравнения заменяют такими линейными уравнениями, решения которых с достаточной степенью точности совпадает с решениями нелинейных уравнений. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией. Обычно линеаризация нелинейных уравнений звеньев производится относительно некоторого заданного (установившегося) режима (состояния). Если дифференциальное уравнение звена нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики звена y=φ(g) линейной функцией .

Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции y=φ(g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию. При этом ограничиваются лишь членами первого порядка малости и пренебрегают остаточным членом. Геометрически это означает замену кривой y=φ(g) касательной, проведенной к кривой в точке (g0,y0), то есть

, (3.1)

где - значение первой производной функции по g при подстановке в выражение этой производной .

Это уравнение (1) можно переписать в виде:

, (3.2)

где , , .

Коэффициент K равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси абсцисс:

.

Рассмотрим процесс линеаризации нелинейного дифференциального уравнения звена второго порядка, записанного в неявной форме:

(3.3)

Допустим, что установившиеся (программные) значения переменных являются постоянными . Тогда можно записать:

 

, , , , ,

 

где символом обозначены отклонения в процессе управления.

Из уравнения (3.3) запишем уравнение звена в установившемся состоянии:

. (3.4)

 

Уравнение (3.3) в отклонениях:

 

. (3.5)

 

Разложим левую часть уравнения (3.5) в ряд Тейлора относительно точки установившегося состояния :

 

, (3.6)

 

где нулем обозначена подстановки .

Вычитая из выражения (3.6) уравнение (3.4) и отбросив все последующие члены разложения как малые высшего порядка, придем к линейному уравнению динамики звена. Его называют уравнением в отклонениях или в “вариациях”.

Обычно при записи линеаризованного уравнения в левой части оставляют слагаемые, содержащие отклонение выходной величины, а все остальные переносят в правую часть. С учетом этого уравнение (3.6) можно переписать:

, (3.7)

 

где , , , , .

Процесс линеаризации уравнения (3.3) может быть геометрически интерпретирован следующим образом. В пространстве переменных уравнение (3.3) задает некоторую поверхность. Переход от уравнения (3.3) к уравнению (3.7) означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью, проведенной к поверхности в точке, соответствующей установившемуся состоянию. Ошибка при такой замене будет мала лишь в малой окрестности установившегося состояния.







Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 1221. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия