Линейная засечка

От пункта A с известными координатами X_A, Y_A измерено расстояние S₁ до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами X_B, Y_B измерено расстояние S₂ до точки P.

Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S₁ (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B - окружность радиусом S₂; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9).

Исходные данные: X_A, Y_A, X_B, Y_B,

Измеряемые элементы: S₁, S₂,

Неизвестные элементы: X, Y.

Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один - для ручного счета (по способу треугольника) и один - для машинного счета.

Рис.2.9

Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:

1. решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла α_AB и длины b линии AB,

2. вычисление в треугольнике ABP углов β₁ и β₂ по теореме косинусов:

(2.29)

3. вычисление угла засечки γ

(2.30)

4. вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:

пункт P справа от линии AB

(2.31)

пункт P слева от линии АВ

(2.32)

5. решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:

1-е решение

(2.33)

2-е решение

(2.34)

Результаты обоих решений должны совпадать.

Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий:

1. решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла α_AB и длины b линии AB,

2. введение местной системы координат X'O'Y' с началом в точке A и осью O'X', направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X'O'Y':

(2.35)

3. запись уравнений окружностей в системе X'O'Y':

(2.36)

и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:

(2.37)

откуда

(2.38)

и

(2.39)

Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак "-", если справа, то "+".

4. пересчет координат X' и Y' точки P из системы X'O'Y' в систему XOY по формулам (2.2):