Несинусоидальные токи. Разложение в ряд Фурье. Частотный спектр несинусоидальной функции напряжения или тока

Обычно анализ цепей переменного тока проводится в предположении, что действующие в них ЭДС и токи имеют синусоидальную форму. В большинстве случаев такое предположение оправдано, однако, на самом деле форма токов и напряжений в той или иной степени всегда несинусоидальна.

Искажение ЭДС и токов может возникать вследствие конструктивных особенностей генераторов переменного тока, приводящих к тому, что создаваемая ими ЭДС несинусоидальна, либо вследствие нелинейности элементов электрической цепи. Причем для появления искажений достаточно наличия в цепи только одного нелинейного элемента. Чаще всего обе эти причины присутствуют одновременно, но в зависимости от степени выраженности их воздействия на цепь пренебрегают одной из них или обеими сразу.

Из курса математики известно, что любую несинусоидальную периодическую функцию F (w t) удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую за полный период конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода, можно представить в виде ряда Фурье

F (w t) = A ₀ + A ₁sin(w t +y ₁) + A ₂sin(2w t +y ₂) +¼ + A_k sin(k w t +y _k)+¼ = A ₀ + B ₁sinw t + B ₂sin2w t +¼ + B_k sin k w t +¼ ј + C ₁cosw t + C ₂cos2w t +¼ + C_k cos k w t +¼ = A ₀+ a ₁+ a ₂+¼ + a_k +¼;,

где .

Первый член ряда A ₀ называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой. Второй член A ₁sin(w t +y ₁) имеет частоту равную частоте функции F (w t) и называется первой или основной гармонической составляющей (коротко - гармоникой). Остальные члены ряда вида A_k sin(k w t +y _k) имеют частоты в целое число раз k больше частоты основной гармоники и называются высшими гармоническим составляющими или гармониками. Каждая высшая гармоника в отдельности именуется по номеру k, т.е. вторая гармоника, третья гармоника и т.д.

Из выражения (1) следует, что каждую гармонику ряда Фурье можно представить в виде двух составляющих - синусной B_k sin k w t и косинусной C_k cos k w t. Амплитуды этих составляющих B_k и C_k называются коэффициентами ряда Фурье.

Разложение в ряд Фурье всегда однозначно в отношении постоянной составляющей, а также амплитуд и частот гармонических составляющих. В то же время, начальные фазы гармоник изменяются при изменении момента времени, принятого за начало отсчета. Таким образом, ряд Фурье можно определить, задав номера, амплитуды и начальные фазы гармоник или номера и амплитуды синусной и косинусной составляющих гармоник. Совокупность амплитуд A_k и начальных фаз y _k называются соответственно амплитудным и фазовым частотными спектрами, а совокупность коэффициентов B_k и C_k - частотным спектром функции. Спектры функций удобно изображать отрезками прямых линий, пропорциональных соответствующим величинам (рис). На показаны два варианта частотных спектров ряда Фурье u (t)=10+20sin(500 t- p/6)+5sin(1500 t +p /4)+7sin(2500 t +2p /3).

Пусть w t = a. Тогда разложение в ряд функции F (a), имеющей период 2p, будет

F (a) = A ₀ + B ₁sina + B ₂sin2a +¼ + B_k sin ka +¼

ј + C ₁cosa + C ₂cos2a +¼ + C_k cos ka +¼ =

= A ₀ + A ₁sin(a +y₁) + A ₂sin(2a +y₂) +¼ + A_k sin(ka +y _k)+¼.

Для этой функции коэффициенты ряда Фурье можно найти из выражений