Формулировка задачи

Даны линейная функция

(1.1) Z = С ₁ х ₁ +С ₂ х ₂ +… +С _N x _N

и система линейных ограничений

a ₁₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _1N Х _N = b ₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _2N Х _N = b ₂

...........

a _i1 x ₁ + a _i2 x ₂ + … + a _iN Х _N = b _i (1.2)

...........

a _M1 x ₁ + a _M2 x ₂ + … + a _MN Х _N = b _M

(1.3) x _j 0 (j = 1, 2, …,n)

где а _ij , Ь _j и С _j - заданные постоянные величины

Найти такие неотрицательные значения х ₁ , х ₂ , …, х _n , которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1)минимальное значение

Общая задача имеет несколько форм записи

Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях

(1.4) А ₁ х ₁ + А ₂ x ₂ + … + А _N x _N = А _о , X 0

где С = (с ₁ , с ₂ , …, с _N ); Х = (х ₁ , х ₂ , …, х _N ); СХ – скалярное произведение; векторы

A ₁ , A ₂ ,…, A _N , A ₀

состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах

Матричная форма записи. Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях АХ = А ₀ , Х 0, где С = (с ₁ , с ₂ , …, с _N ) – матрица-cтрока; А = (а _ij ) – матрица системы;

Х – матрица-столбец, А ₀ - матрица-столбец

Запись с помощью знаков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z = С _j х _jпри ограничениях

0пределение 1. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется Х = (х ₁ , х ₂ , …, х _N ), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.3)

0пределение 2. План Х = (х ₁ , х ₂ , …, х _N ) называется опорным, если векторы А (i = 1, 2, …, N), входящие в разложение (1.4) с положительными коэффициентами х, являются линейно независимыми

Так как векторы А являются N-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать М

0пределение 3. Опорный план называется невырожденным, если он содержит М положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным

0пределение 4. Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наименьшее (наибольшее) значение линейной функции

В дальнейшем рассмотрено решение задач линейного программирования, связанных с на
хождением минимального значения линейной функции. Там, где необходимо найти максимальное значение линейной функции, достаточно заменить на противоположный знак линейной функции и найти минимальное значение последней функции. Заменяя на противоположный знак полученного минимального значения, определяем максимальное значение исходной линейной функции

 

Для обоснования методов решения задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, подтверждая их справедливость дальнейшими геометрическими построениями и опуская аналитические доказательства этих теорем. Вначале дадим некоторые определения.

Определение 1. Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их.

На рис. 2.1 изображено выпуклое множество (выпуклый многоугольник), а на рис. 2.2 - невыпуклое.

рис. 2.1	рис. 2.2

Определение 2. Пересечение конечного числа выпуклых множеств также выпуклое множество.

Определение 3. Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.
Для выпуклого многоугольника угловыми точками являются все его вершины. В пространстве выпуклое множество с конечным числом угловых точек называется выпуклым многогранником.

Утверждение 1. Множеством решений системы m линейных неравенств с n переменными является выпуклый многогранник в n-мерном пространстве (исключая случай, когда система несовместна).

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.
Ранее говорилось, что ограничениями любой задачи линейного программирования являются либо система линейных уравнений, либо система линейных неравенств. Совокупность решений таких систем при условии их совместности, образует выпуклые множества с конечным числом угловых точек. В частном случае, когда в систему ограничений - неравенств входят только две переменные x1 и x2 это множество можно изобразить на плоскости (см.3).

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.
Справедливость этого утверждения иллюстрируется в примере 3.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений, и наоборот.