Кумулятивное распределение

Для возможности сопоставления распределений дискретных и интервальных величин используется универсальный подход, основанный на расчете накопленных частот. Эти величины определяются путем последовательного суммирования частот по группам с подсчетом итогов к концу каждой группы. Накопленные частоты показывают, сколько значений признака (или какая их доля) не превышает заданного значения .

Определение 4.8. Кумулятивное распределение представляет собой вариационный ряд, построенный на основе накопленных частот.

Для интервального ряда – это сумма частот всех интервалов, предшествующих данному (включая данный). Накопленные частоты можно рассчитывать в восходящем порядке (частоты вариантов суммируются сверху вниз) и нисходящем (частоты вариантов суммируются сверху вниз). В приведенной ниже таблице показаны накопленные частоты.

Таблица 14.1

Интервалы расходов,	100-300	300-500	500-700	700-900	900-1100	1100-1300
Число покупателей,
Накопленные частоты в восходящем порядке
Накопленные частоты в нисходящем порядке

Графиком кумулятивного распределения является кумулята (рис. 4.2). Кумулята интервального вариационного ряда представляет собой неубывающую ломаную линию, соединяющую точки пересечения концов интервалов с соответствующими им накопленными частотами. При этом соединение точек прямыми линиями обусловлено предположением о равномерном нарастании ряда накопленных частот внутри интервала. Угловой коэффициент звена кумуляты характеризует плотность распределения в соответствующем интервале: чем круче расположено звено относительно оси абсцисс, тем больше плотность в данном интервале.

Рис. 4.2. Кумулята распределения населения по величине среднедушевых денежных доходов в 2007 году.

Кумулята дискретного вариационного ряда – это неубывающая, ступенчатая кривая. Строится она следующим образом. В прямоугольной системе координат отмечают точки, абсцисса которых – значение признака, ордината – накопленная частота. Из точек опускают перпендикуляры на ось абсцисс. Затем из каждой точки откладывают вправо отрезок параллельный оси абсцисс до пересечения со следующим перпендикуляром.

При построении неравноинтервального вариационного ряда распределения сравнение частот по группам неправомерно, так как изменение границ интервалов может привести к совершенно противоположным выводам. Следовательно, для корректного отражения распределения признака необходимо избавиться от влияния величины интервала, что осуществляется путем перехода от частот к плотности распределения.

Определение 4.9. Абсолютная плотность распределения – это частота, рассчитанная на единицу интервала, т.е.:

Где – ширина го интервала.

Определение 4.10. Относительная плотность распределения, – это относительная частота, рассчитанная на единицу интервала, т.е.: