Пример с решением

Найти точки экстремума функции

Решение:

Находим производную функции:

Находим критические точки:

, ,

Устанавливаем, какие из найденных критических точек являются точками экстремума, устанавливаем знаки производной функции на промежутках: , , ,

+ - - +

- 2 0 2

При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», поэтому точка , точка максимума.

При переходе через точку производная не меняет знак, значит, эта точка не является точкой экстремума.

При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», поэтому точка , точка минимума.

Находим значения функции в точках экстремума:

Ответ: ,

1. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Выпуклость графика функции.

График функции , , называется выпуклым вверх на интервале , если график расположен ниже любой касательной, проведенной к графику в точках .

График функции , , называется выпуклым вниз на интервале , если график расположен выше любой касательной, проведенной к графику в точках .

Если > 0, то на этом промежутке кривая вогнута.

Если < 0, то на этом промежутке кривая выпукла.

 

Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции:

1) Вычисляют вторую производную данной функции.

2) Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками второго рода для функции .

3) Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы.

4) Исследуют знак на каждом из найденных интервалов.