Неопределенный интеграл и его свойства

Функцию называют первообразной для функции на проме­жутке , если при всех выполняется равенство:

Например, функция F(x) = х³ — первообразная для функции = Зх² в интервале , так как (х³)' = Зх² для всех R. Отметим, что если F(x) - первообразная функции f(x) в некотором промежутке, то первообразной является и функция

, где - const

Неопределенным интегралом от функции или от дифференциаль­ного выражения называют множество всех первообразных для данной функции. Вводя обозначение для неопределенного интеграла, и учитывая, что , - const

получаем = F(x) + c, где .

Функцию называют при этом подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением. Действие нахождения функции по ее дифференциалу называется интегрированием.

Свойства неопределённого интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

3. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: