Производная

Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики. Многие задачи, как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Пусть и — два значения аргумента, a и — соответствующие значения функции .

Тогда разность = — называется приращением ар­гумента, а разность = — = — — прира­щением функции на отрезке [ , ] (рис.1)

рис. 1

Пусть дана функция , тогда + = , отсюда следует, что = — , а значит, = — , найдем отношение

, вычислим предел данного отношения при .

В математическом анализе ука­занному пределу уделяется особое внимание и присваи­вается специальное наименование. А именно, предел этот называется производной функции по независимой переменной . Точное определение производной следую­щее:

производной функции по независимой переменной при данном значении (в данной точке ) называется пре­дел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной при стремлении к 0.

Для обозначения производной применяется символ или . Таким образом,

Вычисление производных, изучение и использование их свойств и составляют главный предмет дифференциального исчисления.

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Поэтому сказать: «продифференцировать данную функцию» — это то же самое, что сказать: «вы­числить (или найти) производную данной функции».