Расстояние от точки до прямой

Уравнение называется уравнением прямой в нормальной форме, если Общее уравнение прямой приводится к нормальному виду с помощью нормирующего множителя где принято знак выбирать противоположным свободному члену, т. е.

Пусть точка лежит на расстоянии от прямой и - проекция точки на эту прямую, - нормаль к прямой. Для нормального уравнения длина вектора нормали равна 1. Отклонением точки от прямой называется число , равное , если векторы и со направлены и , если и противоположно направлены. Тогда

Так как то Для общего уравнения расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

Нормальное уравнение часто записывают в виде Здесь , - направляющие косинусы вектора нормали. Геометрический смысл параметра - расстояние от начала координат до плоскости. Вектор нормали направлен в сторону полуплоскости, в которой нет начала координат.

Геометрический смысл знака трехчлена : для того, чтобы точка и вектор лежали в одной полуплоскости относительно прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Задача. Даны точки и и прямая Проходит ли прямая через внутреннюю точку отрезка

Так как числа и имеют разные знаки, то точки принадлежат различным полуплоскостям относительно прямой.

прямая пересекает отрезок.