Упражнения. Циклоидой называется траектория, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся без скольжения по данной прямой

Циклоидой называется траектория, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся без скольжения по данной прямой . Приняв прямую за ось абсцисс, а начальное положение точки за начало координат, напишите уравнение циклоиды и постройте ее.

Пусть - произвольная точка циклоиды, - центр катящейся окружности, а - основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось абсцисс. Примем в качестве параметра угол, который образует луч с лучом т. е. . Если - основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось абсцисс, а - основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось ординат, то Получили следующее параметрическое задание циклоиды Исключив , получим уравнение циклоиды в прямоугольных декартовых координатах. Циклоида - линия периодическая с периодом

Параметрическое задание: . В декартовых координатах: .

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус: OK

Эпициклоидой называется траектория, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся без скольжения по внешней стороне другой окружности радиуса . Примем центр неподвижной окружности за начало прямоугольной декартовой cистемы координат, а за параметр - угол , где - центр катящейся окружности, - точка на положительной полуоси . Напишите параметрическое уравнение эпициклоиды.

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус: OK

Кардиоидой называется кривая в частном случае, когда . Напишите уравнение кардиоиды и постройте ее.

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус: OK

Гипоциклоидой называется траектория, описываемая точкой окружности радиуса катящейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса . Примем центр неподвижной окружности за начало прямоугольной декартовой системы координат, а за параметр - угол , где - центр катящейся окружности, - точка на положительной полуоси . Напишите параметрическое уравнение гипоциклоиды.

 

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус: OK

Астроидой называется кривая в частном случае, когда Напишите уравнение астроиды и постройте ее.

Старт! Использовать другую сторону кривой

Радиус: OK

Дана прямая и точка , отстоящая от нее на расстоянии . Через точку проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой откладывается в обе стороны отрезок, равный . Геометрическое место концов этих отрезков называется конхоидой Никомеда. Примем точку за полюс полярной системы и направим полярную ось перпендикулярно к прямой . Напишите уравнение конхоиды Никомеда и постройте ее.

Пусть - произвольная прямая, проходящая через и пересекающая прямую в точке . Точки и , лежащие на этой прямой и отстоящие от точки на расстоянии , принадлежат искомому геометрическому месту точек. Если и - обобщенные полярные координаты точек и , то

В обобщенной полярной системе кривая задается уравнением

a:

b:

OK

Конхоидой данной кривой называется кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении полярного радиуса каждой точки данной кривой на постоянный отрезок. Улиткой Паскаля называется конхоида окружности, если за полюс выбрана точка на окружности. Напишите уравнение улитки Паскаля, приняв диаметр, проходящий через точку , за полярную ось.

Если - уравнение данной кривой в полярных координатах, то - уравнение конхоиды, где - отрезок, который откладывается от точек кривой.

Если - радиус данной окружности, а - постоянный отрезок, который откладывается на полярном радиусе, и если , то улитка Паскаля является кардиоидой. Докажите это.

r:

b:

OK

Овалом Кассини называется геометрическое место точек плоскости, для которых произведение расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости постоянно. Пусть и - фиксированные точки, - постоянное число и . Примем направленную прямую за ось абсцисс, а середину отрезка за начало координат. Напишите уравнение овала Кассини.

Для и соотношение запишется так: После элементарных преобразований получим Отсюда

При овал Кассини - замкнутая линия. При линия состоит из пары обособленных овалов.

c:

b:

OK

Лемнискатой Бернулли называется овал Кассини в частном случае, когда . Напишите уравнение лемнискаты Бернулли и постройте ее.

Четырехлепестковой розой называется геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины прямого угла на отрезок постоянной длины, который перемещается своими концами по сторонам прямого угла. Приняв за полюс полярной системы координат вершину прямого угла и направим полярную ось по одной из сторон прямого угла. Длина отрезка . Выведите уравнение четырехлепестковой розы и постройте ее.

a:

OK

Луч , исходящий из неподвижной точки , вращается с постоянной угловой скоростью . Точка , имея начальное положение в точке , движется по лучу равномерно со скоростью . Траектория точки называется спиралью Архимеда. Примем за полюс. Напишите уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат и постройте ее.

, где .

v:

w:

OK

Пусть - диаметр некоторой окружности, а - касательная к окружности, проведенная в конце диаметра. Через точку проведена прямая, пересекающая окружность в точке , а касательную в точке . На луче от точки отложен отрезок . Геометрическое место точек называется циссоидой Диоклеса. Приняв точку за полюс полярной системы координат и направив ось по лучу , выведите полярное уравнение циссоиды. Запишите уравнение в прямоугольной декартовой системе.

a:

OK

Даны диаметрально противоположные точки и окружности диаметра и касательная к окружности в точке . Пусть - произвольная точка окружности, - точка пересечения прямых и , а - точка пересечения прямых, проведенных через и и перпендикулярных соответственно прямым и . При движении точки по окружности точка описывает кривую, называемую верзиерой. Выведите уравнение верзиеры в прямоугольной декартовой системе.

Следует из соотношения

a:

OK