Упражнения. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек этой плоскости

1. Если точка лежит вне окружности то а если внутри окружности, то Докажите это.
2. Найдите геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых от двух данных точек и этой плоскости постоянно и равно
3. Найдите геометрическое место точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек и этой плоскости постоянна.
4. Найдите геометрическое место точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых от трех данных точек и этой плоскости постоянна.
5. Найдите геометрическое место точек, касательные из которых, проведенные к данной окружности, имеют постоянную длину.
6. Определите геометрическое место точек плоскости, из которых данный отрезок виден под прямым углом.
7. Дана окружность радиуса и на ней точка . Найдите геометрическое место точек, делящих всевозможные хорды, проведенные через в одном и том же отношении.
8. Найдите геометрическое место середин всех хорд окружности, имеющих данную длину.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек этой плоскости, постоянна. Эти две фиксированные точки и называются фокусами. Длина отрезка называется фокусным расстоянием. Постоянную сумму расстояний обозначим через так что для любой точки эллипса имеем Считаем, что

Эллипс можно построить с помощью нити длиной закрепленной концами в фокусах. Зацепив нить острием карандаша и двигая его так, чтобы нить все время была в натянутом состоянии, мы острием карандаша вычертим эллипс.

Для изучения эллипса применим метод координат, который в данном случае заключается в выборе системы координат, в которой уравнение эллипса имеет наиболее простой вид и наиболее удобный для исследования. За ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокусы, а серединный перпендикуляр отрезка за ось ординат. Тогда координаты фокусов и Точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда Получили уравнение эллипса. Преобразуем его. Так как то существует положительное число для которого Отсюда Разделив обе части уравнения на получим каноническое уравнение эллипса На самом деле уравнение (2) является следствием уравнения эллипса. Но мы покажем, что каждое решение уравнения (2) является решением уравнения (1). Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению (2). Тогда расстояние от этой точки до фокуса равно Аналогично вычисляется расстояние до фокуса Оно равно Так как то точка лежит на эллипсе. Тем самым доказана эквивалентность уравнений (1) и (2) и мы имеем полное право уравнение (2) называть уравнением эллипса. Формулы длин фокальных радиусов нам еще окажутся полезными:

В каноническое уравнение эллипса переменные входят во второй степени. Это означает, что оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат - центр симметрии эллипса. Для построения графика эллипса достаточно построить его в первой четверти и затем отобразить полученную линию относительно осей координат. В первой четверти уравнение эллипса имеет вид При возрастании от 0 до значение функции уменьшается от до 0. График выпуклый вверх. Отразив эту линию относительно осей координат, получим график эллипса. Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса, центр симметрии эллипса - центром эллипса, отрезок - большой осью эллипса, - малой осью, число - большой полуосью, число - малой полуосью. Форма эллипса зависит от расстояния между фокусами. Если фокусы сближаются, то эллипс становится все более похож на окружность. Когда фокусы сольются с центром эллипса, то эллипс обратится в окружность с уравнением Если фокусы отодвигаются от центра, то эллипс постепенно вырождается в отрезок. Основным прямоугольником эллипса называется прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям эллипса и отстоящими от них соответственно на расстоянии и Эллипс располагается внутри основного прямоугольника.

Рассмотрим окружность и подвергнем ее преобразованию Получим В результате сжатия окружности к ее оси симметрии она преобразуется в эллипс

Всякий эллипс может быть получен как результат равномерного сжатия некоторой окружности. Степень сжатия эллипса характеризуется эксцентриситетом (отношение фокусного расстояния к длине большой оси). Эксцентриситет эллипса всегда меньше единицы. Для эллипса, выродившегося в прямолинейный отрезок, эксцентриситет равен 1. Для эллипса, превратившегося в окружность, когда его фокусы совпали, эксцентриситет равен нулю. Директрисой эллипса называется прямая, параллельная малой оси и отстоящая от нее на расстоянии Под это определение попадают две прямые с уравнениями и Фокус и директрису, лежащие в одной полуплоскости, называем соответствующими.

ТЕОРЕМА. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Доказательство. Воспользуемся формулой длины фокального радиуса: для левого фокуса имеем Аналогично вычисляем отношение для правого фокуса.

ТЕОРЕМА. Уравнение касательной к эллипсу в точке эллипса имеет вид

Доказательство. Продифференцировав обе части уравнения эллипса, получим

Отсюда, угловой коэффициент касательной в точке равен а уравнение касательной в этой точке можно записать так:

Задача. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум перпендикулярным прямым. Найдите линию, описываемую некоторой точкой движущегося отрезка.

Примем данные перпендикулярные прямые в качестве осей координат с началом координат в точке пересечения этих прямых. Точка отрезка скользит по оси а точка отрезка скользит по оси Пусть точка делит данный отрезок на части Если то Исключим из этих уравнений параметр т. е. Таким образом, кривая, описываемая точкой есть эллипс. Уравнение называется параметрическим уравнением эллипса.

a:

b:

OK

Задача. Луч света, выходя из одного фокуса, после отражения от эллипса попадает в другой его фокус (оптическое свойство эллипса).

Сумма расстояний до фокусов эллипса точки касания наименьшая среди остальных точек касательной, поскольку все они лежат вне эллипса. Отразим фокус эллипса относительно касательной к эллипсу в точке Получим точку Точка лежит на отрезке , так как для любой другой точки касательной По закону: угол падения равен углу отражения, луч движется по маршруту