Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух фиксированных точек этой плоскости, постоянна. Эти две фиксированные точки и называются фокусами. Длина отрезка называется фокусным расстоянием. Постоянную разность расстояний (из большего расстояния вычитаем меньшее) обозначим через , так что для любой точки гиперболы имеем . Считаем, что . Для изучения гиперболы применим метод координат. За ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокусы, а серединный перпендикуляр отрезка за ось ординат. Тогда координаты фокусов и . Точка принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда Получили уравнение гиперболы. Преобразуем его. Так как , то существует положительное число , для которого Отсюда Каноническое уравнение гиперболы

a:

b:

OK

Уравнение (2) является следствием уравнения гиперболы. Покажем, что каждое решение уравнения (2) является решением уравнения (1). Пусть координаты точки , удовлетворяют уравнению (2). Тогда расстояние от этой точки до фокуса равно

Аналогично вычисляется расстояние до фокуса Оно равно . Так как то точка лежит на гиперболе. Тема самым доказана эквивалентность уравнений (1) и (2) и мы имеем полное право уравнение (2) называть уравнением гиперболы. Формулы длин фокальных радиусов нам еще окажутся полезными:

В каноническое уравнение гиперболы переменные входят во второй степени. Это означает, что оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат - центр симметрии гиперболы. Для построения графика достаточно построить его в первой четверти и затем отобразить полученную линию относительно осей координат. В первой четверти уравнение гиперболы имеет вид

При возрастании от до бесконечности значение функции возрастает от до . График выпуклый вверх. Отразив эту линию относительно осей координат, получим график гиперболы. Ось симметрии гиперболы, имеющую с ней общие точки называем действительной осью гиперболы. Ось симметрии гиперболы, не имеющую с ней общие точки называем мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с действительной осью , называют вершинами гиперболы, центр симметрии гиперболы - центром гиперболы. Гипербола распадается на две ветви: "правую", для точек которой абсцисса и "левую", для точек которой .

Отношение фокусного расстояния к расстоянию между вершинами называется эксцентриситетом . Для гиперболы эксцентриситет всегда больше 1. Директрисой гиперболы называется прямая, параллельная мнимой оси и отстоящая от нее на расстоянии Под это определение попадают две прямые с уравнениями и . Называем соответствующими фокус и директрису, лежащие в одной полуплоскости.

ТЕОРЕМА. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Доказательство. Воспользуемся формулой длины фокального радиуса: для левого фокуса при имеем Аналогично вычисляем отношение в остальных случаях.

Продолжим изучение гиперболы в первой четверти. Положительная в первой четверти разность между ординатами прямой и гиперболы cтремится к нулю при бесконечном возрастании . Прямая является асимптотой гиперболы. При бесконечном возрастании гипербола приближается к прямой, но не пересекает. В силу симметрии такая же картина наблюдается в третьей четверти, а во второй и четвертой четвертях асимптотой является прямая Точка лежит на асимптоте, т. е. геометрический смысл параметра - ордината асимптоты, восставленная из вершины гиперболы. Так как то для нахождения фокуса гиперболы можно отложить на оси отрезок .

Основным прямоугольником гиперболы называется прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям гиперболы и отстоящими от них соответственно на расстоянии и . Диагонали основного прямоугольника гиперболы и есть асимптоты.