Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейная зависимость векторов





 

Пусть дана система векторов

(1)

и α1, α2,...αn - действительные числа. Тогда векторы вида

называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы (1).

Определение. Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.

= (2)

и хотя бы одно из чисел .

Определение. Система (1) называется линейно независимой, если равенство (2) возможно тогда и только тогда, когда все числа αi=0.

Определение. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), т.е.

= ,

то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1).

Теорема. Для того чтобы векторы системы (1) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.

Следствие. Если векторы системы (1) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.

 

Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Следствие. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

 

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторам и этой плоскости, т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Теорема. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Следствие. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

 

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам , и , т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Tеорема. Любые четыре вектора линейно зависимы.

 

Определение. Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно независимых вектора и (любые три линейно независимых вектора , и ) образуют на этой плоскости (в пространстве) базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и (, , ).

Итак:

1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис на этой плоскости;

2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

 








Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 427. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Законы Генри, Дальтона, Сеченова. Применение этих законов при лечении кессонной болезни, лечении в барокамере и исследовании электролитного состава крови Закон Генри: Количество газа, растворенного при данной температуре в определенном объеме жидкости, при равновесии прямо пропорциональны давлению газа...

Ганглиоблокаторы. Классификация. Механизм действия. Фармакодинамика. Применение.Побочные эфффекты Никотинчувствительные холинорецепторы (н-холинорецепторы) в основном локализованы на постсинаптических мембранах в синапсах скелетной мускулатуры...

Шов первичный, первично отсроченный, вторичный (показания) В зависимости от времени и условий наложения выделяют швы: 1) первичные...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия