Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейная зависимость векторов





 

Пусть дана система векторов

(1)

и α1, α2,...αn - действительные числа. Тогда векторы вида

называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы (1).

Определение. Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.

= (2)

и хотя бы одно из чисел .

Определение. Система (1) называется линейно независимой, если равенство (2) возможно тогда и только тогда, когда все числа αi=0.

Определение. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), т.е.

= ,

то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1).

Теорема. Для того чтобы векторы системы (1) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.

Следствие. Если векторы системы (1) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.

 

Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Следствие. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

 

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторам и этой плоскости, т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Теорема. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Следствие. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

 

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам , и , т.е. представить в виде:

причем это разложение единственно.

Tеорема. Любые четыре вектора линейно зависимы.

 

Определение. Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно независимых вектора и (любые три линейно независимых вектора , и ) образуют на этой плоскости (в пространстве) базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и (, , ).

Итак:

1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис на этой плоскости;

2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

 








Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 427. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

ТРАНСПОРТНАЯ ИММОБИЛИЗАЦИЯ   Под транспортной иммобилизацией понимают мероприятия, направленные на обеспечение покоя в поврежденном участке тела и близлежащих к нему суставах на период перевозки пострадавшего в лечебное учреждение...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия