Координаты в пространстве

Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами , , соответственно. Тогда четверка (0, , , ) называется афинным репером, или афинной системой координат в пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы , , - базисные векторы.

Так как векторы , , - линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

= x + y + z

Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х, у, z)), называется радиус-вектором точки М с координатами х, у, z (записывается: = (х, у, z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными октантами.

Если упорядоченная тройка векторов , , является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы , , попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .

В частности, если даны точки А (х ₁, у ₁, z ₁), В (х ₂, у ₂, z ₂), то

Векторы = (х₁,у₁,z₁) и = (х₂,у₂,z₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.